第二章 点和直线的投影.ppt

2 1两投影面体系中点的投影 2 2三投影面体系中点的投影 2 3两点的相对位置 2 4判断重影点的可见性 例题1 例题2 基本要求 2 5直线的投影 2 6直线对投影面的相对位置 2 10直角投影定理 2 7一般位置线段的实长及它与投影面的夹角 2 8属于直线的点 2 9两直线的相对位置 基本要求1 熟练掌握点在第一分角中各种位置的投影特性及作图方法 2 熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系 3 掌握两点的相对位置及重影点可见性的判别 基本要求 1 熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法 2 掌握直线上的点的投影特性及定比关系 3 掌握两直线平行 相交 交叉三种相对位置的投影特性 能根据两直线的投影判别两直线的相对位置 4 熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及其对投影面倾角的方法 并能灵活运用直线的实长 投影 直线与投影面倾角三者之间的关系 5 掌握直角的投影定理及其应用 2 1两投影面体系中点的投影 五 两面投影图的性质 三 两投影面体系中点的投影 二 两投影面体系的建立 一 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置 四 两面投影图的画法 一 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置 二 两投影面体系的建立 H V X O 水平投影面 H垂直投影面 V投影轴 OX 两投影面体系的建立两投影面体系由V面和H面二个投影面构成 V面和H面将空间分成四个分角 处在前 上侧的那个分角称为第一分角 我们通常把物体放在第一分角中来研究 三 两投影面体系中点的投影 A点的水平投影 aA点的垂直投影 a A Z Y X 点的二面投影图点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后 将二个投影面展开在同一个面后得到的 展开时 规定V面不动 H面向下旋转90 用投影图来表示空间点 其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位置 四 两面投影图的画法 五 两面投影图的性质 1 aa OX2 a ax Aa aax Aa 两点的投影规律点的V面投影与H面投影之间的连线a a垂直于投影轴0X 点的一个投影到0X投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离 通常不画出投影图的范围 2 2三投影面体系中点的投影 三 三投影面体系中点的投影规律 二 三投影面体系中点的投影 一 三投影面体系的建立 四 特殊点的投影 一 三投影面体系的建立 水平投影面 HH V OX正面投影面 VY W OZ侧面投影面 WH Z OY Z Y W 两投影面体系及三投影面体系的建立三投影面体系由V H W三个投影面构成 H V W面将空间分成八个分角 处在前 上 左侧的那个分角称为第一分角 我们通常把物体放在第一分角中来研究 二 三投影面体系中点的投影 A点的水平投影 aA点的正面投影 a A点的侧面投影 a A 点的三面投影图点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后 将三个投影面展开在同一个面后得到的 展开时 规定V面不动 H面向下旋转90 W面向右旋转90 用投影图来表示空间点 其实质是在同一平面上用点在三个不同投影面上的投影来表示点的空间位置 1 a az aay xa az aax ya ax a ay z 三 三投影面体系中点的投影规律 2 a a oxa a oz 点的投影规律一点的两投影之间的连线垂直于投影轴 点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离 因此在求作点的 投影时 应保证做到 点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴 即a a上0X 点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴 即a a 上0Z 点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z轴的距离两者相等 都反映点到V面的距离 点的投影与直角坐标的关系若把三个投影面当作空间直角坐标面 投影轴当作直角坐标轴 则点的空间位置可用其 X Y Z 三个坐标来确定 点的投影就反映了点的坐标值 其投影与坐标值之间存在着对应关系 点的一个投影反映了点的两个坐标 已知点的两个投影 则点的X Y Z三个坐标就可确定 即空间点是唯一确定的 因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影 四 特殊点的投影 各种位置点的投影空间点点的X Y Z三个坐标均不为零 其三个投影都不在投影轴上 投影面上的点点的某一个坐标为零 其一个投影与投影面重合 另外两个投影分别在投影轴上 投影轴上的点点的两个坐标为零 其两个投影与所在投影轴重合 另一个投影在原点上 与原点重合的点点的三个坐标为零 三个投影都与原点重合 2 3两点的相对位置 两点中X值大的点 在左两点中Y值大的点 在前两点中Z值大的点 在上 两点的相对位置两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近 或坐标大小 来确定的 X坐标值大的点在左 Y坐标值大的点在前 Z坐标值大的点在上 根据一个点相对于另一点上下 左右 前后坐标差 可以确定该点的空间位置并作出其三面投影 2 4判断重影点的可见性 重影点及可见性判别若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上 则这两点在该投影面上的投影重合 这两点称为该投影面的重影点 重影点在三对坐标值中 必定有两对相等 从投影方向观看 重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见 判断重影点的可见性时 需要看重影点在另一投影面上的投影 坐标值大的点投影可见 反之不可见 不可见点的投影加括号表示 例题1已知点A的正面与侧面投影 求点A的水平投影 注 因为平面是无限大的 所以一般不画出平面边框 例题2已知A点在B点之前5毫米 之上9毫米 之右8毫米 求A点的投影 2 5直线的投影 一 直线的投影仍为直线 特殊情况下唯一点 2 6直线对投影面的相对位置 一 特殊位置直线1 直线平行于一个投影面 1 水平线 2 正平线 3 侧平线2 直线垂直于一个投影面 1 铅垂线 2 正垂线 3 侧垂线3 从属于投影面的直线 1 从属于投影面的直线 2 从属于投影面的铅垂线 3 属于投影轴的直线二 一般位置直线 1 水平线 平行于水平投影面的直线 投影特性 1 a b OX a b OYW2 ab AB3 反映 角的真实大小 2 正平线 平行于正面投影面的直线 投影特性 1 ab OX a b OZ2 a b AB3 反映 角的真实大小 3 侧平线 平行于侧面投影面的直线 投影特性 1 a b OZ ab OYH2 a b AB3 反映 角的真实大小 投影特性 1 ab积聚成一点2 a b OX a b OY3 a b a b AB 1 铅垂线 垂直于水平投影面的直线 2 正垂线 垂直于正面投影面的直线 投影特性 1 a b 积聚成一点2 ab OX a b OZ3 ab a b AB 3 侧垂线 垂直于侧面投影面的直线 投影特性 1 a b 积聚成一点2 ab OYH a b OZ3 ab a b AB 1 从属于V面的直线 2 从属于V投影面的铅垂线 3 从属于OX轴的直线 三 一般位置直线 投影特性 1 ab a b a b 均小于实长2 ab a b a b 均倾斜于投影轴3 不反映 实角 求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一 而用直角三角形法求解实长 倾角又最为方便 简捷 一 直角三角形法的作图要领用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边 再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边 所作直角三角形的斜边即为线段的实长 斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角 二 直角三角形的四个要素直角三角形的四个要素即 实长 投影长 坐标差及直线对投影面的倾角 已知四要素中的任意两个 便可确定另外两个 三 解题时 直角三角形画在任何位置 都不影响解题结果 但用哪个长度来作直角边不能搞错 四 作图1求直线的实长及对水平投影面的夹角 角2求直线的实长及对正面投影面的夹角 角3求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角例题1 2 7一般位置线段的实长及其与投影面的夹角 1求直线的实长及对水平投影面的夹角 角 zA zB 2求直线的实长及对正面投影面的夹角 角 YA YB YA YB 3求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角 例题1已知线段的实长AB 求它的水平投影 直线上的点具有两个特性 1从属性若点在直线上 则点的各个投影必在直线的各同面投影上 利用这一特性可以在直线上找点 或判断已知点是否在直线上 2定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比 即AC CB ac cb a c c b a c c b 利用这一特性 在不作侧面投影的情况下 可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上 例题2例题3例题4 2 8属于直线的点 例题2已知线段AB的投影图 试将AB分成1 2两段 求分点C的AB 例题3已知点C在线段AB上 求点C的正面投影 例题4已知线段AB的投影 试定出属于线段AB的点C的投影 使BC的实长等于已知长度L AB zA zB c ab 2 9两直线的相对位置 一 平行两直线二 相交两直线三 交叉两直线四 交叉两直线的可见性例题5例题6例题7 一 平行二直线 1 两平行直线在同一投影面上的投影仍平行 反之 若两直线在同一投影面上的投影相互平行 则该两直线平行 2 平行两线段之比等于其投影之比 二 相交二直线 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交 且交点属于两直线 反之 若两直线在同一投影面上的投影相交 且交点属于两直线 则该两直线相交 三 交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线 四 判断两直线重影点的可见性 判断重影点的可见性时 需要看重影点在另一投影面上的投影 坐标值大的点投影可见 反之不可见 不可见点的投影加括号表示 例题5判断两直线的相对位置 例题6判断两直线的相对位置 1 d 1 c 例题7判断两直线重影点的可见性 2 10直角投影定理 一 垂直相交的两直线的投影定理一 垂直相交的两直线 其中有一条直线平行于投影面时 则两直线在该投影面上的投影仍反映直角 定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角 且有一条直线平行于该投影面 则空间两直线的夹角必是直角 二 交叉垂直的两直线的投影定理三 相互垂直的两直线 其中有一条直线平行于投影面时 则两直线在该投影面上的投影仍反映直