第6讲(1)误差理论.ppt

测量实践中可以发现 测量结果不可避免的存在误差 比如 1 对同一量多次观测 其观测值不相同 2 观测值之和不等于理论值 三角形 180 闭合水准 h 0 误差理论 一 测量误差的来源 等精度观测 观测条件相同的各次观测 不等精度观测 观测条件不相同的各次观测 仪器误差 观测误差 外界条件的影响 观测条件 粗差 因读错 记错 测错造成的错误 1 观测条件 2 直接观测与间接观测 直接观测 为确定某一未知量而进行的观测即被观测量就是未知量本身 间接观测 通过观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测 3 独立观测与非独立观测 独立观测 各观测量之间无任何依存关系 是相互独立的观测 非独立观测 在各观测量之间存在几何或物理条件的约束 4 测量误差 测量中的被观测量客观存在一个真实值 观测值与真值的差值为真误差 二 测量误差的分类 在相同的观测条件下 无论在个体和群体上 呈现出以下特性 误差的绝对值为一常量 或按一定的规律变化 误差的正负号保持不变 或按一定的规律变化 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累 1 系统误差 误差的大小 符号相同或按一定的规律变化 例 钢尺 尺长 温度 倾斜改正水准仪 i角经纬仪 c角 i角注意 系统误差具有累积性 对测量成果影响较大 消除和削弱的方法 1 校正仪器 2 观测值加改正数 3 采用一定的观测方法加以抵消或削弱 在相同的观测条件下 对某个固定量作一系列的观测 如果观测结果的差异在正负号及数值上 都没有表现出一致的倾向 即没有任何规律性 这类误差称为偶然误差 2 偶然误差 偶然误差的特性 真误差 观测值与理论值之差 绝对值相等的正 负误差出现的机会相等 可相互抵消 对称性 同一量的等精度观测 其偶然误差的算术平均值 随着观测次数的增加而趋近于零 抵偿性 即 在一定的条件下 偶然误差的绝对值不会超过一定的限度 有界性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多 集中性 抵偿性 误差处理的原则 1 粗差 舍弃含有粗差的观测值 并重新进行观测 2 系统误差 按其产生的原因和规律加以改正 抵消和削弱 3 偶然误差 根据误差特性合理的处理观测数据减少其影响 精度 又称精密度 指在对某量进行多次观测中 各观测值之间的离散程度 一 中误差 定义在相同条件下 对某量 真值为X 进行n次独立观测 观测值l1 l2 ln 偶然误差 真误差 1 2 n 则中误差m的定义为 式中 式中 例 试根据下表数据 分别计算各组观测值的中误差 解 第一组观测值的中误差 第二组观测值的中误差 说明第一组的精度高于第二组的精度 说明 中误差越小 观测精度越高 定义由偶然误差的特性可知 在一定的观测条件下 偶然误差的绝对值不会超过一定的限值 这个限值就是容许 极限 误差 二 容许误差 极限误差 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差 即 容 2m或 容 3m 极限误差的作用 区别误差和错误的界限 偶然误差的绝对值大于中误差9 的有14个 占总数的35 绝对值大于两倍中误差18 的只有一个 占总数的2 5 而绝对值大于三倍中误差的没有出现 中误差 真误差和容许误差均是绝对误差 相对误差K是中误差的绝对值m与相应观测值D之比 通常以分母为1的分式来表示 称其为相对 中 误差 即 三 相对误差 一般情况 角度 高差的误差用m表示 量距误差用K表示 例 已知 D1 100m m1 0 01m D2 200m m2 0 01m 求 K1 K2解 概念误差传播定律 阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律 函数形式 倍数函数和差函数线性函数一般函数 一 倍数函数的中误差 设倍数函数为 式中K 常数 未知量的直接观测值 将两式减得 二 和或差函数的中误差 设某一量Z为两个独立观测值与之和或差的函数 则函数式为 当观测值 分别含有真误差 时则函数Z也将产生真误差 由上式得将两式相加 得 如果对x y各观测n次 则可写出n个真误差之间的关系 将上列等式两边平方 得 等式两边相加 并除以 得 即 如果函数Z为个独立观测值的代数和 即根据上面推导方法 可得出函数Z的中误差为 如果函数Z为个独立观测值的代数和 即根据上面推导方法 可得出函数Z的中误差为 设非线性函数的一般式为 式中 为独立观测值 为独立观测值的中误差 求函数的全微分 并用 替代 d 得 三 一般函数 式中 是函数F对的偏导数 当函数式与观测值确定后 它们均为常数 因此上式是线性函数 其中误差为 误差传播定律的一般形式 例 已知 测量斜边D 50 00 0 05m 测得倾角 15 00 00 30 求 水平距离D解 1 函数式2 全微分3 求中误差 中误差 列函数式 例 用L长的钢尺丈量边长D 共丈量了n个尺段 各尺段丈量误差均为m 计算边长D及其的中误差 1 列出观测值函数的表达式 2 对函数式全微分 得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式 式中 是用观测值代入求得的值 求观测值函数中误差的步骤 四 运用误差传播定律的步骤 3 根据误差传播率计算观测值函数中误差 注意 在误差传播定律的推导过程中 要求观测值必须是独立观测值 误差传播定的几个主要公式 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 观测值为l1 l2 ln 中误差为m1 m2 mn 则其算术平均值 最或然值 似真值 L为 一 求最或是值 L 设未知量的真值为x 可写出观测值的真误差公式为 i 1 2 n 将上式相加得或故 推导过程 由偶然误差第四特性知道 当观测次数无限增多时 即 算术平均值 说明 n趋近无穷大时 算术平均值即为真值 因为式中 1 n为常数 由于各独立观测值的精度相同 设其中误差均为m 设平均值的中误差为mL 则有 二 算术平均值中误差mL 由此可知 算术平均值的中误差为观测值的中误差的倍 故 三 精度评定 第一公式 第二公式 白塞尔公式 条件 观测值真值x已知 条件 观测值真值x未知 算术平均值L已知 其中 观测值改正数 证明 i 1 2 3 n 两式相加 有 即 解 i 1 2 3 n 设则 将上列等式两端各自平方 并求其和 则 将代入上式 则 故 P Q 又因 由于为偶然误差 它们的非自乘积仍具有偶然误差的性质 根据偶然误差的特性 即 例题 设用经纬仪测量某个角6测回 观测之列于表中 试求观测值的中误差及算术平均值中误差 算术平均值L中误差是 例 用一经纬仪测水平角 一测回角值中误差 欲使测角精度达到 需测几个测回 解 要使则需观测的测回数 因为n个测回平均角值的中误差为 求测角中误差 例题 1 有函数Z1 X1 X2 Z2 2X3若mX1 mX2 mX3 m且X1 X2 X3相互独立 则mZ1与mZ2是否相同 2 有函数Z Z1 Z2 Z1 X 2Y Z2 2X Y且X Y相互独立 mx my m求mZ 3 用一经纬仪测水平角 一测回中误差为容许误差为2倍中误差 求三角形角度闭合差的容许误差 最小二乘法 最小二乘法能够得到一组具有多余观测的线性方程的最优解 消除观测值之间的矛盾 不符值 例 某三角形的内角的观测值为 58 30 40 61 20 10 60 08 58 那么角值不确定 其对应的改正数也不确定 此三角形内角和的闭合差 即12 改正数计算的几种方案 最小二乘法原则 最优方案 改正数的平方和最小 同精度观测 不同精度观测 一 权 单位权和单位权中误差 权 用以权衡各个不同精度观测值在平差中的分量轻重权是表示观测值精度的相对指标观测值的精度低 中误差大 权亦小 单位权 权为1时的权单位权中误差 与单位权对应的观测值的中误差 常用来表示 直接观测平差 二 确定权的方法 例1在相同的观测条件下 对某一未知量分别用不同的次数n1 n2 n3进行观测 得相应的算术平均值为L1 L2 L3 求L1 L2 L3的权 例2 用相同观测方法 经由长度为L1 L2 L3的三条不同路线 测量两点间的高差 分别得出高差为h1 h2 h3 已知每公里的高差中误差为mkm 求三个高差的权 不同精度观测的最或然值 设对某角进行了两组观测 第一组测n1个测回 其平均值为L1 第二组测n2个测回 其平均值为L2 加权平均值得中误差 单位权中误差的计算 用最或然误差计算单位权中误差 1 用最或然误差计算单位权中误差 1 例3 如图 从已知水准点阿A B C D经四条水准路线 测得E点的高程及水准路线长见下表 求E点的最或然值及其中误差 及每公里高差的中误差 L1 1 52km L2 1 43km L3 1 51km L4 1 62km 表6 7不同精度观测的数据处理 等权代替法水准网平差 Z 1 2 1 等权代替 3 3 2 计算F点的最或然高程 3 计算E点的最或然值 将F点作为固定点计算E点最或然值及各观测值改正数 3 线路各段按距离反号平均分配 则E点的最或然高程为 4 精度评定 求mF mE中误差 若需计算E点最或然高程的中误差 则需将E点作为节点计算即可 例 如图表所示数据计算E F点的高程 3 5 解 1 计算E点的局部带权平均值 2 计算F点的观测高程及最或然高程 3 计算高差改正数及点的最或然高程 例1 例2 作业2 1 偶然误差和系统误