2019_2020学年高中数学第三章立体几何中的向量方法（第3课时）空间向量与空间距离（选学）练习新人教A版.docx

第3课时 空间向量与空间距离（选学） 学生用书P145(单独成册)A基础达标1如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA1，E，F分别是面A1B1C1D1，面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为()A1BC. D解析：选C.以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E(1，1，)，F，所以|，故选C.2已知平面的一个法向量n(2，2，1)，点A(1，3，0)在平面内，则点P(2，1，4)到的距离为()A10 B3C. D解析：选D.由已知得(1，2，4)，故点P到平面的距离d.3已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A. BC. D解析：选B.建立空间直角坐标系如图所示，则(0，2，0)，(0，1，2)，设ABE，则cos ，sin .故A到直线BE的距离d|sin 2.4如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A5，AB12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A5 B8C. D解析：选C.以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，12，0)，D1(0，0，5)设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x0)设平面A1BCD1的法向量为n(a，b，c)，由n，n，得n(a，b，c)(x，0，0)ax0，n(a，b，c)(0，12，5)12b5c0，所以a0，bc，所以可取n(0，5，12)又(0，0，5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为.因为B1C1平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.5正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为()A. BC. D解析：选B.以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，平面ABC1D1的一个法向量(1，0，1)，则点O到平面ABC1D1的距离d.故选B.6在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则AD到平面PBC的距离为_解析：因为BCAD，BC平面PBC，所以AD平面PBC，所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离由已知可知AB，AD，AP两两垂直以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，则(2，0，2)，(0，2，0)设平面PBC的法向量为n(a，b，c)，则即取a1，得n(1，0，1)，又(2，0，0)，所以AD到平面PBC的距离d.答案：7如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为_解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有(1，1，1)，(0，2，1)，所以，|，所以点D1到直线GF的距离为 .答案：8正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则平面A1BD与平面B1CD1间的距离为_解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，0，0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则所以令z1，得y1，x1，所以n(1，1，1)所以点D1到平面A1BD的距离d.因为平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.答案：9在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，M为BB1的中点，N为BC的中点(1)求点M到直线AC1的距离；(2)求点N到平面MA1C1的距离解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0，(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d.(2)设平面MA1C1的法向量为n(x，y，z)，则n0且n0，即(x，y，z)(0，2，0)0且(x，y，z)(2，0，1)0，即y0且2xz0，取x1，得z2，故n(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0.因为N(1，1，0)，所以(1，1，1)，故点N到平面MA1C1的距离d|n0|.10.如图所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA平面ABC，且PA2，设平面过PF且与AE平行，求AE与平面的距离解：设，的单位向量分别为e1，e2，e3，选取e1，e2，e3作为空间向量的一组基底，可得e1e2e2e3e3e10，2e1，2e2，2e3.()2e1e2e3，设nxe1ye2e3是平面的一个法向量，则n，n，所以即解得所以ne1e3，所以直线AE与平面的距离为d.B能力提升11.如图，ABCDEFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为()A. BC. D解析：选C.如图，分别以AB、AD、AE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，、可作为x、y、z轴方向上的单位向量，因为，所以，(1，0，0)，所以P点到AB的距离d .12如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为_解析：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则，(0，1，0)，(0，1，1)设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，1)，则有解得n，则所求距离为.法二：连接AB1，VB1ABC1VA BB1C1，VA BB1C1SBB1C1AB.设点B1到平面ABC1的距离为h，则VB1ABC1SABC 1h，SABC1AB，所以h.答案：13.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点(1)求证：DA1ED1；(2)若直线DA1与平面CED1所成角为45，求的值；(3)写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置(结论不要求证明)解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，设E(1，m，0)(0m1)(1)证明：(1，0，1)，(1，m，1)，1(1)0(m)110.所以DA1ED1.(2)设平面CED1的法向量为v(x，y，z)，则而(0，1，1)，(1，m1，0)，所以取z1，得y1，x1m，得v(1m，1，1)，因为直线DA1与平面CED1所成角为45，所以sin 45|cos，v|，所以，所以，解得m，所以E点为，所以的值为.(3)点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处14(选做题)在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABC90，如图把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD(如图)(1)求证：CDAB；(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：(1)证明：由已知条件可得BD2，CD2，CDBD.因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，又因为AB平面ABD，所以CDAB.(2)以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，1，0)，所以(0，2，0)，(1，0，1)，(1，1，0)设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以令x1，得平面ACD的一个法向量为n(1，0，