与圆有关的专题综合讲义(六).doc

与圆有关的专题综合讲义（六）例1 如图，半径为4的O中直径AB垂直弦CD于E，过C作O的切线CP交AB的延长线于P，连接DB并延长交CP于F，连接AC，AD，PD，OF（1）求证：PD是O的切线；（2）若E为半径 OB的中点，求线段OF的长度例2 如图甲，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45，等腰直角DCE中，DCE是直角，点D在线段AC上（1）问B、C、E三点在一条直线上吗？为什么？（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试求的值；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（O90）后，记为D1CE1（图乙），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，则=_例3 如图1，在平面直角坐标系中，半径为4的O交坐标轴于A、B、C、D，点P为BC上一个动点（不与B、C点重合）连AP、BC交于点G，连FG交OB 于点E（1）请运用圆的定义证明C、F、P、G在同一个圆上；（2）当P为BC的中点时，求点G的坐标；（3）如图2，连接PD，设PAB的内切圆半径为r，求证：例4 如图，已知BC是O的直径，P是O上一点，A是的中点，ADBC于点D，BP与AD相交于点E（1）当BC=6且ABC=60时，求的长；（2）求证：AE=BE（3）过A点作AMBP，求证：AM是O的切线例5 如图，在ABC中，AB=BC以AB为直径作圆O交AC于点D，点E为O上一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点F连接AE、BE，BAE=60，F=15，解答下列问题（1）求证：直线FB是O的切线；（2）若BE=cm，则AC=_cm例6 如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD（1）若C（3，m），求m的值； （2）如图2，连AC，作BMAC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；（3）经过B、C两点的O1交AC于S，交AB的延长线于T，当O1的大小发生变化时，的值变吗？若不变证明并求其值；若变化，请说明理由例7 如图，E点为x轴正半轴上一点，E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（1，0），E（1，0） （1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，连接PA，PC若CQ平分PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），给出下列两个结论：的值不变，的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值例8 如图，直线AB的解析式为y=kx2k（k0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，ABO=60经过A、O两点的O1与x轴的负半轴交于点C，与直线AB切于点A（1）求C点的坐标；（2）如图，过O1作直线EFy轴，在直线EF上是否存在一点D，使得DAB的周长最短，若存在，求出D点坐标，不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，连接OO1与O1交于点G，点P为劣弧GF上一个动点，连接GP与EF的延长线交于H点，连接EP与OG交于I点，当P在劣弧GF运动时（不与G、F两点重合），O1HO1I的值是否发生变化，若不变，求其值，若发生变化，求出其值的变化范围与圆有关的专题综合讲义（六）参考答案与试题解析1如图，半径为4的O中直径AB垂直弦CD于E，过C作O的切线CP交AB的延长线于P，连接DB并延长交CP于F，连接AC，AD，PD，OF（1）求证：PD是O的切线；（2）若E为半径 OB的中点，求线段OF的长度考点：切线的判定与性质；等边三角形的判定与性质1125860分析：（1）连接OD、OC欲证PD是O的切线，只需证明ODPD即可；通过全等三角形COPDOP（SAS）的对应角OCP=ODP=90来证明该结论；（2）利用等边三角形的判定知ODB和PCD均为等边三角形，然后由等边三角形的“三线合一”的性质、勾股定理求得OF的长度解答：（1）证明：连接OD、OCOC=OD（O的半径），AB是直径，直径AB弦CD（已知），OE是COD的平分线，COE=DOE；在COP和DOP中，COPDOP（SAS），OCP=ODP（全等三角形的对应角相等）；又CP是O的切线，OCP=90（切线的性质），ODP=90（等量代换），点D在O上，PD是O的切线；（2）解：CDAB，点E是OB的中点，OD=BD；又OB=OD，OB=OD=BD，BOD是等边三角形，ODB=60，ODE=BDE=30（等腰三角形的“三线合一”的性质），OD=4，DE=ODsinDOE=，CD=2DE=4；ODP=90，CDP=60；PC、PD是O的两条切线，PC=PD，PCD是等边三角形（有一内角为60的等腰三角形是等边三角形），CD=PD，点F是PC的中点；在RtCDF中，CD=4，CDF=30，则CF=CD=2（30角所对的直角边是斜边的一半）；在RtOCF中，OF=（勾股定理）点评：本题综合考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质有一内角为60的等腰三角形是等边三角形2如图甲，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45，等腰直角DCE中，DCE是直角，点D在线段AC上（1）问B、C、E三点在一条直线上吗？为什么？（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试求的值；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（O90）后，记为D1CE1（图乙），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，则=考点：圆周角定理；平行线的判定；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质1125860分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到BCA=90，DCE是直角，即可得到BCA+DCE=90+90=180；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明RtBCDRtACE，得到BD=AE，EBD=CAE，则CAE+ADF=CBD+BDC=90，即BDAE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD，OM=AE，ONBD，AEOM，于是有ON=OM，ONOM，即ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；（3）根据（2）中证明方法，利用四边形内角和得出BD1AE1，进而求出即可解答：解：（1）在一条直线上理由如下：AB为O直径，ACB=90，DCE为等腰直角三角形，ACE=90，BCE=90+90=180，B、C、E三点共线 （2）连接BD，AE，ON，ACB=90，ABC=45，BC=AC，在BCD和ACE中，BCDACE，AE=BD，DBE=EAC，AEB+EBD=90，BDAE，O，N为中点，ONBD，ON=BD，同理：OMAE，OM=AE，OMON，OM=ON，MN=OM，=，（3）成立理由如下：连接BD 1，AE1，ON 1，延长BD1交AE于点F，和（2）一样，易证得BCD1ACE1，E1AC=FBC，BD1C=AE1C，E1FB+AE1C+D1BC+90+D1CB=360（四边形内角和定理），又AE1C+D1BC+D1CB=180，E1FB+90+180=360，E1FB=90，BD1AE1，可得ON1M 1为等腰直角三角形，从而有M1N 1=OM 1故答案为：点评：此题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质3如图1，在平面直角坐标系中，半径为4的O交坐标轴于A、B、C、D，点P为BC上一个动点（不与B、C点重合）连AP、BC交于点G，连FG交OB 于点E（1）请运用圆的定义证明C、F、P、G在同一个圆上；（2）当P为BC的中点时，求点G的坐标；（3）如图2，连接PD，设PAB的内切圆半径为r，求证：考点：圆的综合题1125860分析：（1）取FG的中点M，连CM，PM，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明CM=GM=PM=FM即可；（2）如图1，连PC由三角形垂心的定义推知FEAB首先由全等三角形（ACGAEG）的性质知对应边AC=AE=4；然后根据圆心角、弧、弦间的关系，勾股定理，等腰三角形的判定与性质求得BE=EG=84则易求点G的坐标；（3）如图2，作ABP的角平分线BQ交PD于点Q，过点Q作QMAP，QNBP，垂足分别为点M、N通过圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系推知点Q即为APB的内心根据内心的定义以及正方形的判定推知四边形MQNP为正方形，易得PQ=QM=r；然后根据BPQ的外交定理，等腰三角形的判定求得DQ=DB=4，所以PD=PQ+QD=r+4=（4+r）解答：解：（1）如图1，取FG的中点M，连CM，PMAB是O的直径，ACB=APB=90，BCF=FPB=90CM=GM=PM=FM=EG，即点C、F、P、G到点M的距离相等，根据圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合点C、F、P、G在以点M为圆心，MC长为半径的圆上（2）如图1，连PC点P为弧BC的中点，=，BAP=CAP又APBF，BCAF，AP、BC交于点G，点G为ABF的垂心，FGAB，即GEAB在ACG和AEG中，ACGAEG（AAS）AC=AEAOOC，AO=OC=4，AC=4，AE=4OE=AEAO=44，BE=OBOE=841=CAB=45，=2=45，EG=BE=84，点G的坐标是：（44，84）；（3）证明：如图2，作ABP的角平分线BQ交PD于点Q，过点Q作QMAP，QNBP，垂足分别为点M、N=，1=2=45又BQ平分ABP，点Q即为PAB的内心，QM=QN=r，又QMP=QNP=MPN=90，四边形MQNP为正方形，易得PQ=QM=r，BPQ的外角5=2+3=45+3，DBQ=DBO+4=45+4，又3=4，5=DBQ，DQ=DB=4，PD=PQ+QD=r+4=（4+r）点评：本题考查了圆的综合题其中涉及到的知识点有圆周角定理，圆的定义，圆周角、弧、弦间的关系以及全等三角形的判定与性质等注意（3）中辅助线的作法4如图，已知BC是O的直径，P是O上一点，A是的中点，ADBC于点D，BP与AD相交于点E（1）当BC=6且ABC=60时，求的长；（2）求证：AE=BE（3）过A点作AMBP，求证：AM是O的切线考点：切线的判定；圆周角定理；弧长的计算1125860分析：（1）首先连接OA，AB，由BC是O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得ABC是直角三角形，又由BC=6，ABC=60，即可求得O的半径OB的长，继而求得的长；（2）由A是的中点，即可求得，又由在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，即可得ABP=ACB，又由BAC=90，ADBC，易证得BAD=C，则问题得证；（3）由A是的中点，由垂径定理的知识，即可求得OABP，又由AMBP，即可证得AM是O的切线解答：（本题满分6分）（1）解：连接OA，AB，BC是O的直径，BAC=90，ABC=60，ACB=30，AOB=60，又OB=BC=6=3，AB弧的长为：l=；（2）证明：点A是的中点，C=ABPBC为O的直径，BAC=90，即BAD+CAD=90又ADBC，ADC=90，BAD=C，ABP=BAD，AE=BE；（3）证明：A是的中点，AOBP，AMBP，AMAO，即AM是O的切线点评：此题考查了圆的切线的判定，垂径定理，圆周角的性质以及直角三角形的性质等知识此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用5如图，在ABC中，AB=BC以AB为直径作圆O交AC于点D，点E为O上一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点F连接AE、BE，BAE=60，F=15，解答下列问题（1）求证：直线FB是O的切线；（2）若BE=cm，则AC=2cm考点：切线的判定1125860专题：压轴题分析：（1）欲证明直线FB是O的切线，只需证明ABFB；（2）通过解直角AEB求得AB的长度；然后在等腰直角ABC中，根据勾股定理来求斜边AC的长度即可解答：（1）证明：AB是O的直径，AEB=90BAE=60，ABE=30，ADE=ABE=30，FDC=ADE=30F=15，ACB=F+FDC=45又在ABC中，AB=BC，ACB=CAB=45，ABC=90，即ABFB又AB是直径，直线FB是O的切线；（2）解：在直角AEB中，BE=cm，BAE=60，AB=2（cm）在ABC中，ABC=90，AB=BC，AB=2cm，则AC=AB=2cm故答案是：2点评：本题考查了切线的判定、解直角三角形要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可6如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD（1）若C（3，m），求m的值； （2）如图2，连AC，作BMAC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；（3）经过B、C两点的O1交AC于S，交AB的延长线于T，当O1的大小发生变化时，的值变吗？若不变证明并求其值；若变化，请说明理由考点：一次函数综合题1125860专题：综合题分析：（1）作CEx轴于E，可证OABEBC，再根据线段相互间的关系即可求出CE的长，即m的值；（2）作GEx轴于G，可以通过先求出AE与EB的关系，证明结论；（3）连接CT，ST，ST交BC于M，可知的值为45余弦的倒数，从而求解解答：解：（1）作CEx轴于E，易证OABEBC，OB=OEBE=3OA=2，CE=2，即m=2；（2）作GEx轴于G，BE=BF，1=2，2=MFC，MFC+3=90，4+1=903=4，EG=GB，AE=EB，AC=AB，AE+EB=AB，AE=（2）AB，AC+AE=2AB；（3）连接CT，ST，ST交BC于M，则AS=TS，SC=SM，STA=45，ASCS=MT，=故的值不变点评：考查了一次函数综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理和三角函数的知识，难度较大7如图，E点为x轴正半轴上一点，E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（1，0），E（1，0）（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，连接PA，PC若CQ平分PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），给出下列两个结论：的值不变，的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值考点：垂径定理；全等三角形的判定；勾股定理；圆周角定理1125860专题：动点型分析：（1）连接EC，则EC=EA=2，然后利用勾股定理就可求出OC的长，从而求出点C的坐标；（2）不发生变化，连接CB，利用等弧所对的圆周角相等可证明AQ=AC，AC是一个固定值，所以不发生变化再利用勾股定理就可求出AC的长即是AQ的长；（3）要想知道哪个结论正确就要都证明一下，通过证明可知1正确证明的时候利用三角形的全等来证明解答：解：（1）连接EC，则EC=EA=2，OE=1，OC=，故点C的坐标为（0，）；（2）不发生变化连接CB，则CPA=CBA=ACO，ACQ=ACO+OCQ，AQC=CPA+PCQ，CQ平分PCD，则PCQ=OCQ，则ACQ=AQC，得AQ=AC=2；（3）结论不变，在PD的延长线上截取DM=PC，则PC+PD=PM，连接AM，可证PACMAD，得MA=PA，MAP=DAC=120，则PAM是以30为底角的等腰三角形，=点评：本题综合考查了圆的有知识，以及全等三角形的判定所以学生学习时一定要会把所学的知识灵活的运用起来8如图，直线AB的解析式为y=kx2k（k0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，ABO=60经过A、O两点的O1与x轴的负半轴