测量误差分析与误差处理.ppt

5 2中误差传播定律 本单元阐述了观测值中误差与其函数中误差之间的关系 称作误差传播定律 它是求观测值函数中误差的理论根据 希望大家认真掌握 本单元主要内容 观测值函数中误差推导 知识考核 倍数函数 和 差函数 线性函数及一般函数中误差公式 算术平均值中误差公式 第一单元介绍的是根据一组等精度观测值的真误差 求观测值的中误差问题 但是在实际测量工作中 有些未知量往往是由观测值 通过一定的函数关系间接计算出来的 例如 水准测量时 高差h a 后视读数 b 前视读数 h是a b的函数 又如坐标增量 x S cos y S sin x及 y是距离S和坐标方位角的函数 由于直接观测值有误差 故它的函数也必然会有误差 研究观测值函数的精度评定问题 实质上就是研究观测值函数的中误差与观测值中误差的关系问题 这种关系又称误差传播定律 一 倍数函数的中误差 设有函数Z KX用 X与 Z分别表示X和Z的真误差 则Z Z K X X 即 Z K X这就是函数真误差与观测值真误差的关系式 设对X进行了n次观测 则有 Z1 K X1 Z2 K X2 ZN K XN得 2Z1 K2 2X1 2Z2 K2 2X2 2ZN K2 2XN 2Z K2 2X 按中误差定义 上式可表示为m2Z K2m2X或mZ KmX可见 倍数函数的中误差等于倍数 常数 与观测值中误差的乘积 用比例尺在1 1000的图上量得长度L 168mm 并已知其中误差mi 0 2mm 求相应地面上的水平距离S及中误差mS 解 相应地面上的水平距离S 1000L 168m中误差mS 1000mi 0 2m最后写成S 168 0 2m 二 和 差函数的中误差 设有函数Z X Y和Z Z Y 即Z X YX Y为独立观测值 所谓 独立 是指观测值之间相互无影响 即任何一个观测值产生的误差 都不影响其他观测值误差的大小 一般来说 直接观测的值就是独立观测值 令函数Z及X Y的真误差分别为 Z X Y 显然Z Z X X Y Y 和差函数的中误差 Z X Y观测n次 则有 Z1 X1 Y1 Z2 X2 Y2 Zn Xn Yn将上列各式两边平方并求和 得 2Z 2X 2Y 2 X Y 例题 例题 习题1 如图所示的测站点O 观测了 三个角度 已知它们的中误差分别为 12 24 24秒 求由此而得圆周角不符值 的中误差 如果用方向观测法观测了这三个角且测角中误差为12秒 请问计算角的中误差是多少 三 线性函数中误差 设有函数Z K1x1 K2x2 Knxn式中K1 K2 Kn为常数 x1 x2 xn均为独立观测值 它们的中误差分别为m1 m2 mn函数Z与各观测值x1 x2 xn的真误差关系式为根据中误差的定义公式可得 例题 例4 对某一直线作等精度观测 往测距离为L1 返测距离为L2 其中误差均为m 求该直线的最后结果及其中误差 解 最后结果L为设L的中误差为mL 有即 四 一般函数的中误差 设有一般函数Z f X1 X2 Xn 式中 X1 X2 Xn为具有中误差 mX1 mX2 mXn的独立观测值 各观测值的真误差分别为 X1 X2 Xn 其函数Z也将产生真误差 z 取全微分 得则有式中 为函数对各个变量所取得的偏导数则函数的中误差为 或者 例题 设沿倾斜地面丈量A B两点 得倾斜距离L 29 992m 测得A B两点间高差h 2 05m 若测量L h的中误差分别为 0 003m和 0 05m 求水平距离S及其中误差ms 解 水平距离为水平距离的中误差为式中则有 五 若干独立误差综合影响的中误差 一个观测值的中误差 往往受许多独立误差的综合影响 例如 经纬仪观测一个方向时 就受目标偏心 仪器偏心 仪器未真正对中 照准 读数等误差的综合影响 这些独立误差都属于偶然误差 可以认为各独立真误差 1 2 n的代数和就是综合影响的真误差 F F 1 2