高等数学-1章-函数与极限-3.doc

高等数学教案 第一章 函数与极限 (3)(B0). 证明(1): 因为lim f (x)=A, lim g (x)=B , 根据极限与无穷小的关系, 有f (x)=A+a, g (x)=B+b, 其中a及b 为无穷小. 于是f (x) g (x)=(A + a) (B + b) = (A B) + (a b), 即f (x) g (x)可表示为常数(A B)与无穷小(a b)之和. 因此lim f (x) g (x) = lim f (x) lim g (x) = A B . 推论1 如果lim f (x)存在, 而c为常数, 则lim c f (x)=c lim f (x). 推论2 如果lim f (x)存在, 而n是正整数, 则lim f (x)n =lim f (x)n. 定理4 设有数列xn 和yn . 如果, , 那么 (1); (2); (3)当(n=1, 2, )且B0时, . 定理5 如果j(x)f(x), 而lim j(x)=a , lim y(x)=b , 那么ab . 例1. 求. 解: . 讨论: 若, 则 提示: =a0x0n+a1x0n-1+ +an=P(x0).若, 则. 例2. 求. 解: . 提问: 如下写法是否正确？. . 例3. 求. 解: . 例4. 求. 解: , 根据无穷大与无穷小的关系得=. 提问: 如下写法是否正确？ . 讨论: 有理函数的极限提示: 当时, . 当且时, . 当Q(x0)=P(x0)=0时, 先将分子分母的公因式(x-x0)约去. 例5. 求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限: . 例6. 求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限: . 例7. 求. 解: 因为, 所以 . 讨论: 有理函数的极限 提示: . 例8. 求. 解: 当x时, 分子及分母的极限都不存在, 故关于商的极限的运算法则不能应用. 因为, 是无穷小与有界函数的乘积, 所以 . 定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义, 若, , 且在x0的某去心邻域内g(x)u 0, 则. 定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 若g(x)u0(xx0), f(u)A(uu0), 且在x0的某去心邻域内g(x)u0, 则. 简要证明 设在x|0|x-x0|0, $d0, 当0|x-x0|d 时, 有|fg(x)-A|0, $h0, 当0|u-u0|h时, 有|f(u)-A|0, $d10, 当0|x-x0|d1时, 有|g(x)-u0|h. 取d=mind0, d1, 则当0|x-x0|d时, 0|g(x)-u0|h, 从而|fg(x)-A|=|f(u)-A|0, $N 10, 当nN 1时, 有|y n-a|0, 当nN 2时, 有|z n-a|N 时, 有|y n-a|e , |z n-a|e 同时成立, 即a-eyna+e , a-ez nN 时, 有a-eynx nz na+e , 即 |x n-a|0, $N 0, 当nN 时, 有 |y n-a|e 及|z n-a|e , 即有 a-eyna+e , a-ez na+e , 由条件(1), 有 a-ey nx nz na+e , 即 |x n-a|M时有定义, 准则I 及准则I 称为夹逼准则. 下面根据准则I证明第一个重要极限: . 证明 首先注意到, 函数对于一切x0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, BCOA, DAOA. 圆心角AOB=x (0x). 显然 sin x=CB, x=, tan x=AD. 因为 SDAOBS扇形AOBSDAOD , 所以sin xxtan x, 即 sin xxtan x. 不等号各边都除以sin x, 就有, 或 . 注意此不等式当-x0时也成立. 而, 根据准则I, . 简要证明: 参看附图, 设圆心角AOB=x (). 显然 BC AB AD, 因此 sin x x tan x, 从而 (此不等式当x0时也成立). 因为, 根据准则I, . 应注意的问题: 在极限中, 只要a(x)是无穷小, 就有.这是因为, 令u=a(x), 则u 0, 于是., (a(x)0). 例1. 求. 解: . 例2. 求. 解: = . . 准则II 单调有界数列必有极限. 如果数列x n满足条件x 1x 2x 3 x nx n+1 ,就称数列x n是单调增加的; 如果数列x n满足条件x 1x 2x 3 x nx n+1 ,就称数列x n是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 如果数列x n满足条件x nx n+1, nN+, 在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛. 准则II的几何解释: 单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A, 而对有界数列只可能后者情况发生. 根据准则II, 可以证明极限存在. 设, 现证明数列xn是单调有界的. 按牛顿二项公式, 有 , . 比较x n , x n+1的展开式, 可以看出除前两项外, x n的每一项都小于x n+1的对应项, 并且x n+1还多了最后一项, 其值大于0, 因此 x n x n+1 , 这就是说数列xn是单调有界的. 这个数列同时还是有界的. 因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得 . 根据准则II, 数列xn必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即. 我们还可以证明. e是个无理数, 它的值是e=2. 718281828459045 . 指数函数y=e x 以及对数函数y=ln x 中的底e 就是这个常数. 在极限中, 只要a(x)是无穷小, 就有. 这是因为, 令, 则u , 于是. , (a(x)0). 例3. 求. 解: 令t=-x, 则x 时, t . 于是 . 或 . 1. 8 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 变量的增量: 设变量u从它的一个初值u1变到终值u2, 终值与初值的差u2-u1就叫做变量u的增量, 记作Du , 即Du =u2-u1. 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x0变到x0+Dx时, 函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx), 因此函数y的对应增量为Dy= f(x0+Dx)- f(x0). 函数连续的定义 设函数y=f(x)在点x0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量Dx =x-x0 趋于零时, 对应的函数的增量Dy= f(x0+Dx)- f(x0 )也趋于零, 即, 或,那么就称函数y=f(x)在点x0 处连续. 注: 设x=x0+Dx, 则当Dx0时, xx0, 因此 . 函数连续的等价定义2:设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数e , 总存在着正数d , 使得对于适合不等式|x-x0|d 的一切x, 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-f(x0)|0, $d0, 当0|x-x0|d 时, 有|fg(x)-f(u0)|0, $h0, 当|u-u0|h 时, 有|f(u)-f(u0)|0, $d0, 当0|x-x0|d 时, 有|g(x)-u0|h. 从而 |fg(x)-f(u0)|e . (2)定理的结论也可写成. 求复合函数fg(x)的极限时, 函数符号f 与极限号可以交换次序. 表明,在定理3的条件下, 如果作代换u=g(x),那么求就转化为求, 这里. 把定理5 中的xx0换成x, 可得类似的定理. 例3. 求. 解: . 提示: 是由与复合而成的. , 函数在点连续. =g(x0) 定理4 设函数y=fg(x)由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, U(x0)Df og. 若函数u=g(x)在点x0连续, 函数y=f(u)在点u0=g(x0)连续, 则复合函数y=fj(x)在点x0也连续. 证明: 因为j(x)在点x0连续, 所以j(x)=j(x0)=u0.又y=f(u)在点u=u0连续, 所以 fj(x)=f(u0)=fj(x0).这就证明了复合函数fj(x)在点x0连续. 例4. 讨论函数的连续性. 解: 函数是由y=sin u及复合而成的. sin u当-u+时是连续的, 当-x0和0x0, a 1)对于一切实数x都有定义,且在区间(-, +)内是单调的和连续的, 它的值域为(0, +). 由定理4, 对数函数log ax (a0, a 1)作为指数函数ax的反函数在区间(0, +)内单调且连续. 幂函数y=xm 的定义域随m的值而异, 但无论m为何值, 在区间(0, +)内幂函数总是有定义的.可以证明, 在区间(0, +)内幂函数是连续的. 事实上, 设x0, 则y=xm=, 因此, 幂函数xm可看作是由y=au, u=mlogax 复合而成的, 由此, 根据定理6, 它在(0, +)内是连续的.如果对于m取各种不同值加以分别讨论, 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的. 结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的. 最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 所谓定义区间, 就是包含在定义域内的区间. 初等函数的连续性在求函数极限中的应用: 如果f(x)是初等函数, 且x0是f(x)的定义区间内的点,则f(x)=f(x0). 例5. 求. 解: 初等函数f(x)=在点是有定义的, 所以 . 例6. 求. 解: 初等函数f(x)=ln sin x在点是有定义的, 所以 . 例7. 求. 解: . 例8. 求. 解: . 例9. 求. 解: 令a x -1=t, 则x=log a (1+t), x 0时t 0, 于是 =. 1. 10 闭区间上连续函数的性质 一、最大值与最小值 最大值与最小值: 对于在区间I上有定义的函数f(x), 如果有x0I, 使得对于任一xI都有f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 ), 则称f(x0 )是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）. 例如, 函数f(x)=1+sin x在区间0, 2p上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f(x)=sgn x 在区间(-, +)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +)内, sgn x的最大值和最小值都是1. 但函数f(x)=x在开区间(a, b)内既无最大值又无最小值. 定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值. 定理1说明, 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 那么至少有一点x1a, b, 使f(x1)是f(x)在a, b上的最大值, 又至少有一点x 2a, b, 使f(x 2)是f(x)在a, b上的最小值. 注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 例: 在开区间(a, b) 考察函数y=x. 又如, 如图所示的函数在闭区间0, 2上无最大值和最小值. 定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 证明: 二、介值定理 零点: 如果x0 使f(x0 )=0, 则x0 称为函数f(x)的零点. 定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间a, b上连续, 且f(a)与f(b)异号, 那么在开区间(a, b)内至少有一点x 使f(x)=0. 定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间a, b上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,那么, 对于A与B之间的任意一个数C, 在开区间(a, b)内至少有一点x , 使得f(x)=C . 定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间a, b上连续, 且f(a)f(b), 那么, 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C, 在开区间(a, b)内至少有