AR模型的正则方程与参数计算.ppt

3 3AR模型的正则方程与参数计算 Yule Walker方程Levinson Durbin快速递推法预测误差格型滤波器及Burg算法 正则方程 均方误差 MSE 最小准则下建立的模型参数与相关函数的关系 AR模型是三种模型中 实际应用最广泛的一种 因为 1 AR模型的参数可以借助解线性方程获得 而MA和ARMA模型的参数涉及到解非线性方程 2 三种模型在一定条件下可以相互转换 3 实际中很多物理系统可以直接采用或经变换后采用AR模型 一 Yule Walker方程 正则方程 AR模型参数ak与x n 自相关函数之间的关系 P阶AR模型的系统函数 系统差分方程 因果稳定系统 由 1 2 得 可定一个 求另一个 写成矩阵形式 系数矩阵对称 且与主对角线平行的对角线上的元素均相等 此称Toeplitz矩阵 上述两式为AR模型的正则方程 即Yule Walker方程 一个p阶AR模型有p 1个参数 若知前p 1个自相关系数 由正则 方程即可求出这p 1个参数 即可以得到 AR模型与线性预测的关系 P个数据的线性组合 误差 总预测误差功率 均方误差 由线性最小均方误差估计的正交原理 即 此时 即为线性预测的wiener hopf方程 比较 AR模型的输出是同阶预测器所预测的x n 那么该AR模型的系数应是线性预测器的系数 AR模型是在最小均方意义上对数据的线性拟合 设G 1 则 P阶预测误差滤波器的输出 预测误差滤波器 AR模型 二 Levinson Durbin快速递推法 Yule Walker方程中自相关矩阵是对称的 半 正定Toplitz矩阵 方法 矩阵求逆 高斯消去法 Levinson Durbin递推法 以后的推导过程中 假设G 1 递推过程 Yule Walker方程 1 一阶AR模型 2 二阶AR模型 解得 3 由p 1阶参数求p阶AR模型参数的递推公式 若令递推中不断变化的阶次记为m 则 得递推关系式如下 Levinson关系式 m阶AR模型 所以 可见 3 综合 一个p阶AR过程x n 可用三组参数等效表示 上述三组参数可以相互推导出来 三 预测误差格型滤波器及Burg算法 1 预测误差格型滤波器 线性预测 由随机序列的一些已知值的线性组合去估计序列的未来值 前向预测 由过去估计现在或未来值 后向预测 由现在估计过去值 P阶前向预测值 误差 P阶后向预测值 误差 由前后向预测误差表达式可画出p阶前向 后向预测误差横截型滤波器结构 P69图3 4 横截型滤波器的缺点 2 若阶数增加 则ap i 系数改变 需要重新计算 1 控制不方便 ap i 是方程的系数 而不是零极点 预测误差格型滤波器 前向预测误差递推公式 n时刻的p 1阶前向预测误差 式 式 n 1时刻的p 1阶后向预测误差 P阶前后向预测误差递推公式 m阶预测误差格型滤波器结构 P71图3 5 格型滤波器的参数是各阶反射系数km 自相关函数可以由观测数据估计得到 若数据短 则误差大 效果不好 即已知数据的长短影响滤波器的效果 2 Burg算法 依据 使前后向预测均方误差之和最小 来求取km 将 代入上式得 于是有 对于平稳各态历经随机过程 可用时间平均代替集合平均 所以 Burg算法 是对已知数据段前后加窗 不对已知数据段以外的数据作假设 防止人为带来的不合理假设 前后预测均方误差之和最小 保证滤波器是最小相位稳定的 保证AR模型是稳定系统 3 横截型 格型滤波器比较 横截型 B 格型 参数值扰动和有限字长效应不敏感 反射系数 1 稳定性好 最小相位系统 横截型 参数值扰动和有限字长效应较敏感 C 格型 若各阶输出满足均方误差最小 则输入平稳随机信号时 各级的输出误差相互正交 前后级之间无耦合性能 只要各级达到最优 即可达到全局最优 例题3 3 1 解 例题3 3 2 有一基于最小均方误差准则的格型滤波器 已知其反射系数为 解 可见 极点为0 2和0 6 都在z平面单位圆内 所以该AR 2 模型是因果稳定的 用Levinson方法计算AR模型参数 其中阶数用的是最优LPE算法 也可以自己指定阶数 clearall 产生信号 FS 100 设采样频率为100 则根据F1 FS 0 2 F2 FS 0 3OR0 25 可以得到F1 F2便于计算 N 155 数据长度 改变数据长度会导致分辨率变化 n 0 1 FS N FS F1 20 第一个SIN信号的频率 F2 25 第二个SIN信号的频率 取25或者30 X sin 2 pi F1 n sin 2 pi F2 n 1 20 randn size n 产生信号 由信噪比为10dB推出噪声功率 信号长度从X 1 到X N 1 MATLAB作业1 产生自相关函数数组 form 1 N 1 初始化R m R m 用来存放自相 关函数 由于R 0 在MATLAB里无效 所以从1开 始到N 1 R m 0 end 做自相关函数的无偏估计 Levinson算法主体部分 fork 1 N 1 初始化后面算法中要用到的数组 其中a k k 用来存放AR模型参数 FPE k 是最终预测误差准则函数 a k k 0 U2 k 是AR模型中的另一参数即误差功率FPE k 0 U2 k 1 0 end 由Levinson算法计算一阶模型参数a11 由Levinson算法 计算一阶模型参数误差功率 FPE 1 U2 2 N 2 N 计算一阶模型的最终预测误差准则函数 S 0 fork 2 N 由Levinson梯归公式计算K阶模型参数FPE k U2 k 1 N k 1 N k 1 S 0 end 梯归计算完毕 确定阶数P min FPE 1 求出使FPE函数最小值的