初等模型 数学建模.ppt

初等模型 多元函数模型 问题5 居民电费模型 在中国有些地区 由于电力紧张 政府鼓励 错峰 用电 四川省电网居民生活电价表 单位 元 kwh 规定 一户一表 居民生活用电收费标准如下 1 月用电量在60kwh及以下部分 每日7 00 23 00期间用电 每千瓦时0 4724元 23 00 次日7 00期间用电 每千瓦时0 2295元 2 月用电量在61至100kwh部分 每千瓦时提高标准0 08元 3 月用电量在100至150kwh部分 每千瓦时提高标准0 11元 4 月用电量在150kwh及以上部分 每千瓦时提高标准0 16元 根据以上规定 建立该地 一户一表 居民用电量与电费之间的函数关系模型 若某户居民6月份的用电量为 7 00 23 00期间用了200kwh 23 00 次日7 00期间用了100kwh 请计算这户居民6月份应缴纳的电费 根据所建立的模型为居民提供一个合理化的用电建议 一模型的假设 1 电表能准确地显示每户居民各时段的月用电量 且无公摊 2 假设收费标准按月执行 二变量说明 Z一户一表居民的月电费x居民一个月内在时段7 00 23 00的用电量y居民一个月内在时段23 00 次日7 00的用电量 三模型的分析和建立 四模型的求解 这里x 200 y 100 因x y 300 150 所以将x 200 y 100代入电费模型中第四个得Z 150 13元 五模型的结果 六模型的推广 问题6手机资费模型 一模型的假设 1 假设北京移动公司全球通 畅听99 共推出了4种手机套餐方案 第i种 i 1 2 3 4 依次对应表中从上到下的第i种方案 2 假设套餐费用按月计算 不累计到下月 二变量说明 yi北京移动公司全球通 畅听99 第i种方案的资费x手机的本地主叫时间ai第i种方案的月基本费bi第i种方案中包含本地主叫分钟数ci第i种方案中超出套餐部分本地主叫资费fi第i种方案中除去月基本费和超出套餐部分本地主叫费的费用 三模型的建立 四模型的求解 四模型的推广 几何模型 问题7切割钢板的优化模型一道生产工序是用冲床从1m 1m的钢板上压切下100块直径为0 1m的小圆板 请设计一个切割方案 尽量减少损耗 请问该圆板还能压切出更多的小圆板吗 一模型的准备 在生产车间 如何下料使浪费最少主要取决于下料的方式本问题等同于在一正方形的纸板上裁剪一些大小相同的圆 使剩余的纸屑面积最小 我们可以先用圆规在纸上画圆的方法帮助分析 事实上有多种裁剪方式 方式 1 如图2 3所示 方式 2 如图2 4所示 以及更多方式 但要使浪费的材料最少 我们可以只考虑这两种方式 二模型的假设 1 假设冲床能高精度的切割 使圆与圆彼此相切 2 假设不考虑钢板大小和圆的大小误差 3 假设各种切割方式都不产生废品4 假设圆与圆的接触形式为以下两种 且方式不混合 1 4圆相切 呈正方形排列 2 6圆相切 呈三角形排列 三变量说明 l钢板的长d钢板的宽D圆板的直径r圆板的半径N圆板的数量S1圆板的总面积S钢板的面积W损耗 四模型的建立及求解 此时 先考虑圆成正方形排列的情形 如图一所示 通过粗略的测算和分析 可知这时横 纵方向均可压切10个半径为0 05m的圆 共可压切10 10 100个小圆板 100个小圆板的面积为钢板面积为损耗为 利用图2 5可以计算切割圆板的层数 此时 中间每层圆板的高度为 边上第一层圆心与最后一层圆板圆心到钢板边缘的高度之和为2r 设切割圆板的层数为n 则它应满足将d 1 r 0 05代入上式 得n 11 从而可从钢板上压切10 6 9 5 105个小圆板 大于按正方形排列时压切100个小圆板的数量 105个圆的面积为钢板面积不变 损耗为 五模型的结果 要切出100块小圆板 可以按四圆相切 呈正方形排列的方式切割 一排十个 十排 一共一百个 如果按六圆相切 呈三角形排列的方式切割 可切出更多的圆 105个 六模型的推广 排列组合及其他模型 这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的 1 加法原理 设完成一件事有m种方式 第一种方式有n1种方法 第二种方式有n2种方法 第m种方式有nm种方法 无论通过哪种方法都可以完成这件事 则完成这件事总共有n1 n2 nm种方法 例如 某人要从甲地到乙地去 甲地 乙地 可以乘火车 也可以乘轮船 火车有两班 轮船有三班 乘坐不同班次的火车和轮船 共有几种方法 3 2种方法 回答是 2 乘法原理 设完成一件事有m个步骤 第一个步骤有n1种方法 第二个步骤有n2种方法 必须通过每一步骤 才算完成这件事 例如 若一个男人有三顶帽子和两件背心 问他可以有多少种打扮 可以有种打扮 一模型的假设 1 线路一与线路二不能交叉2 只能在旅行社提供的线路中考虑 3 在西安转机到北京的航班可以考虑不在同一天 二模型的分析和建立 三模型的结果 如果小张必选北京 则他有八种选择方案如果成都到北京必须在西安转机 且成都到西安有2个航班 西安到北京有3个航班 则小张从成都到北京有6种不同的航班安排方式 问题9 比赛场次模型 某次网球单打比赛分两个阶段进行 第一阶段为预赛 按分组单循环赛进行 共分成四组 每组n个人 第二阶段为决赛 实行淘汰赛 由各小组的前二名参加 最终决出冠军 问冠军至少要打多少场比赛 一问题的分析 二模型的假设 假设无运动员缺赛 三模型的建立和求解 四模型的推广 如果这次比赛的初赛和决赛均实行淘汰赛 问冠军至少要打多少场比赛 问题10 排队打水模型 每天下午5 00至5 30之间开水房的拥塞每位同学都深有感触 有些人喜欢一个人占几个水龙头 对每个人来讲 最好的办法是在不违反排队顺序的前提下尽可能早的接触水龙头 事实上大家也基本上是这样做的 试分析最节省时间的打水方案 一模型的假设 1 假设有2个水龙头 有2n个人来打水 每人两个壶 2 假设每打一壶水需要的时间固定 二变量说明 t打一壶水需要的时间 三模型的建立 下面考虑两种排队打水方式 方式A 经验方法 两个人同时各用一个水龙头 相当于有2列 每列的情况为 第1人需要2tmin 则n个人都花了2tmin第二人的打水时间为2t 则一共有 n 1 个人花了2tmin 以此类推 其中一列打完需要的时间为 2t n 2t n 1 2t 2t 1 2 n tn n 1 则2n个全打完 共需要时间2tn n 1 方式B 只有1列 每次分配水龙头时都优先满足最前面的一个人 这样 第一个人先用两个水龙头 要tmin 等他打完了第二个人再用 第2个人的等待时间和打水的时间共为t t 2tmin 以此类推 将2n个水壶打满水 共需要的时间为t 1 2 3 2n tn n 1 2 四模型的求解 如果n 5 t 1方式A需要的时间为 2 1 5 5 1 60 min 方式B需