2019_2020学年高中数学第3章圆锥曲线与方程33.1双曲线及其标准方程学案北师大版.docx

3.1双曲线及其标准方程学习目标：1.掌握双曲线的定义及其应用(重点)掌握双曲线的标准方程及其推导过程(难点)会求双曲线的标准方程(易混点)1双曲线的定义我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距思考：定义中为何强调“绝对值”和“02a|F1F2|”？提示(1)双曲线的定义中若没有“绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“绝对值”不能去掉在双曲线的定义中，条件02a|F1F2|不应忽视，(2)若2a|F1F2|时，轨迹不存在2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2ca，b，c的关系c2a2b21.判断正误(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab.()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab.()答案(1)(2)(3)2已知两定点F1(3，0)，F2(3，0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是 ()A|PF1|PF2|5B|PF1|PF2|6C|PF1|PF2|7 D|PF1|PF2|0AA中，|F1F2|6，|PF1|PF2|5|F1F2|，动点P的轨迹不存在；D中，|PF1|PF2|0，即|PF1|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A.3双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A. B. C. D.C将双曲线方程化为标准形式x21，所以a21，b2，c，右焦点坐标为.4已知双曲线的a5，c7，则该双曲线的标准方程为_1或1a5，c7，b224 所以该双曲线的标准方程为1或1.用待定系数法求双曲线的标准方程【例1】(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4)和，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程解(1)设所求双曲线方程为1(a0，b0)，则解得双曲线的标准方程为1.(2)法一：设所求双曲线方程为1(a0，b0)，由题意易求得c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线方程为1.法二：设双曲线方程为1(4k16)，将点(3，2)代入得k4，所求双曲线方程为1.待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2k0，b0)，由于点P和Q在双曲线上，所以解得 (舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P，Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为1.综上，双曲线的标准方程为1.法二：设双曲线方程为1(mn0，b0)则有解得所求双曲线的标准方程为y21.法二：焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(00，b0)，则a2b220.又双曲线过点(3，)，1.a2202，b22.所求双曲线的标准方程为1.用定义法求双曲线的标准方程【例2】已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程思路探究利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解解如图，设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|r，|MC2|r，|MC1|MC2|2.又C1(4，0)，C2(4，0)，|C1C2|8，2|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线的右支a，c4，b2c2a214，点M的轨迹方程是1(x)1本题易忽略|MC1|MC2|2没有“绝对值”，导致忘加“x”这个限制条件2求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定2在ABC中，B(4，0)，C(4，0)，动点A满足sin Bsin Csin A求点A的轨迹解在ABC中，sin Bsin Csin A，|AC|AB|BC|.又B(4，0)，C(4，0)，|BC|8.|AC|AB|4|BC|.点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(除去与B，C共线的一点)其方程为1(x2)双曲线定义的应用探究问题如图所示，已知F1，F2分别为双曲线1的左，右焦点，点M为双曲线上一点，并且F1MF2.(1)点M与F1，F2之间存在怎样的等量关系？若点M在双曲线的右支上，则|MF2|应满足什么条件？提示点M与F1，F2之间的等量关系为：|MF1|MF2|2a；当点M在双曲线的右支上时， |MF2|ca.(2)如何求MF1F2的面积？提示在MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos .|F1F2|24c2，|MF1|2|MF2|2(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|4a22|MF1|MF2|，式化为4c24a22|MF1|MF2|(1cos )，|MF1|MF2|，SMF1F2|MF1|MF2|sin .【例3】若F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积思路探究(1)利用双曲线的定义求解；(2)先求出|PF1|PF2|2a；再利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式，求出|PF1|PF2|的值，代入SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积解双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c5.(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|PF1|2a6两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF20，且F1PF2(0，180)，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.1.(变条件)若本例(1)中条件“距离等于16”改成“距离为7”，求点P到F2的距离解由双曲线的标准方程1，得a3，b4，c5.由双曲线定义得|MF1|MF2|2a6，|7|MF2|6，解得|MF2|1或|MF2|13.又因为|MF2|532，故|MF2|1舍去，所以|MF2|13.2.(变条件)若本例(2)条件“|PF1|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其它条件不变，求F1PF2的面积解由|PF1|PF2|25 |PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF1|4，SF1PF2448.3.(变条件)若本例(2)条件“|PF1|PF2|32”改成“F1PF260”，求F1PF2的面积解由1得，a3，b4，c5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF26416.求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)法二：利用公式SPF1F2|F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系1双曲线1的焦距为()A.B2C.D8Dc2a2b29716，c4，焦距为2c8.2若方程1表示双曲线，则实数m满足()Am1且m3 Bm1Cm或m D3m1C因为方程1表示双曲线，而m210恒成立，所以m230，解得m或m，故选C.3已知点F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，点P是双曲线上的一点，且0，则PF1F2的面积为()Aab BabCb2 Da2C由题意知|PF1|PF2|2a.|PF1|2|PF2|24c2.2，得|PF1|PF2|2b2，S|PF1|PF2|b2.4双曲线的焦点在x轴上，且ac9，b3，则双曲线的标准方程为_1由，得，焦点在x轴上，双曲线标准方程为1.5已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M