3.2.1一元二次不等式解法和分式不等式的解法.ppt

3 2一元二次不等式的解法 代数不等式 初等超越不等式 有理不等式 无理不等式 整式不等式 分式不等式 二次 指数不等式 对数不等式 一次 不等式的分类 高次 ax b a 0 x a 0 x a 0 例 解不等式 解 去分母 12 x 1 2 x 2 21x 6 去括号 14x 8 21x 6 移项 整理 7x 14 原不等式的解集为 x x 2 一元一次不等式 一元二次不等式解法 一元二次不等式解法 一 一 基础知识讲解 一元二次不等式的基本形式 ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c 0 a 0 1 思考 一元一次方程的解与一次函数的图象有什么关系 引例1 解不等式2x 7 0 答 方程的解即函数图象与x轴交点的横坐标 一元一次不等式的解集与一次函数的图象又有什么关系 不等式的解集即函数图象在x轴下方或上方所对应x的范围 2 思考 不等式x2 x 6 0的解与二次函数y x2 x 6图像又有什么关系 引例2 解不等式x2 x 6 0 解 因为 1 24 0 方程x2 x 6 0的解是 x1 2 x2 3由函数y x2 x 6的图像 可得不等式的解集为 x x3 2 3 y x2 x 6 练习 解不等式x2 x 6 0 3 练习 1 2004年江苏省高考试题 二次函数y ax2 bx c的对应值表如下 则ax2 bx c 0解集是 2 解不等式 1 4x2 4x 1 0 2 6x2 x 2 0 解 因为 16 16 0 方程4x2 4x 1 0的解是 x1 x2 0 5而函数y 4x2 4x 1的开口向上 所以原不等式的解集为 x x 0 5 4 b2 4ac 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象 方程ax2 bx c 0的根 ax2 bx c 0 a 0 的解集 ax2 bx c0 的解集 0 0 0 有两个不等实根x1 x2 x1 x2 x xx2 x x1 x x2 有两个相等实根x1 x2 无实根 x x x1 R 一元二次方程 一元二次不等式与二次函数的关系 5 总结 2 解不等式 1 4x2 4x 1 0 2 x2 x 1 0 3 若0 a 1 则不等式 x a x 0的解集是 1 口答 1 x 1 x 3 0的解集是 2 x2 9的解集是 3 x2 3x 4 0的解集是 4 x 1 2 x 0的解集是 x x3 x 1 x 2 x x 1或x 4 x 3 x 3 5 x 1 2 0的解集是 1 6 练习 小结 解一元二次不等式ax2 bx c 0的步骤 将二次项系数化为 a 0 计算ax2 bx c 0判别式 并求其根 由图象写出解集 画出y ax2 bx c的图象 记忆口诀 前提a 0 大于取两边 小于取中间 7 课堂小结 一元二次不等式解法 二 一 例题分析 解 原不等式可化为 相应方程的两根为 变式 解关于x的不等式 x2 a 1 x a 0 例2 已知一元二次不等式ax2 bx 6 0的解集为 x 2 x 3 求a b的值 练习 1 已知不等式x2 ax b 0的解集为 x x3 则实数a b 1 6 解 由题意得 a 0 且方程ax2 bx 6 0的两根分别为 2和3 一 例题分析 一 例题分析 例3 不等式x2 6kx k 8 0对所有实数x R都成立 求k的取值范围 解 依题意可知 对任意x R 不等式x2 6kx k 8 0应恒成立 所以 k应满足 6k 2 4 k 8 0 解 依题意可知 对任意x R 不等式kx2 6kx k 8 0应恒成立 所以 1 若k 0 则可得8 0 满足题意 2 若k 0 则应满足 0 k 1 综上所述 k 0 1 一 例题分析 例4 不等式kx2 6kx k 8 0对所有实数x R都成立 求k的取值范围 二 练习 解法1 换元法 设 x t 则t 0原不等式可化为t2 2t 15 0由例1可知解为t 5或t 3 t 0 不等式的解集为 t t 5 x 5 原不等式的解为 x x 5或x 5 分析1 不同于x2 2x 15 0的根本点在于不等式中含 x 由于 x 2 x2 则可以通过换元令 x t 将不等式转化为t2 2t 15 0求解 解法2 当x 0时 原不等式可化为x2 2x 15 0则不等式的解为x 5或x 3 x 0 不等式的解集为 x x 5 当x 0时 原不等式可化为x2 2x 15 0则不等式的解为x 3或x 5 x 0 不等式的解集为 x x 5 由以上可知原不等式的解为 x x 5或x 5 分析2 也可用绝对值定义去掉绝对值将不等式转化为不含绝对值的求解 例2 解不等式 x2 2 x 15 0 三 小结 1 化成标准形式ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c0 2 判定 与0的关系 并求出方程ax2 bx c 0的实根 3 根据图象写出不等式的解集 1 解一元二次不等式的步骤 2 注意含参数不等式求解时 对参数的分类讨论 3 解题过程中注意一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系 注 画出二次函数的图象 根据图象写出解集 注意数形结合 思想方法 1 数形结合 2 分类讨论 4 注意含绝对值不等式求解时 可换元或去绝对值符号 分式不等式的解法 点评 分式不等式与高次不等式均可利用商或积的符号法则转化为一元一次不等式 组 或一元二次不等式 组 求解 这种方法叫同解转化法 eg 解不等式 x 1 x 2 x 3 0 尝试2 令y x 1 x 2 x 3 则y 0的三个根分别为1 2 3 如图 在数轴上标出3个实根 将数轴分为四个区间 图中标 号的区间即不等式y 0的解集 即不等式 x 1 x 2 x 3 0的解集为 x 13 eg 解不等式 x 1 x 2 x 3 0 总结 此法为数轴标根法 在解高次不等式与分式不等式中简洁明了 可迅速得出不等式的解集 分式不等式与高次不等式的解法 利用积 商的符号法则用同解转化法转化为一元一次或一元二次不等式组求解 找到各因式的根利用数轴标根法求解 请说说利用数轴标根法的步骤 1 找根 2 画轴 3 标根 4 画曲线 5 得解 例1解不等式 解 原不等式转化为 此不等式与不等式 x 1 x 2 x 3 x 1 0解集相同 由数轴标根法可得原不等式的解集为 x 1 x 1或2 x 3 1 1 2 3 变式1 变式3 x 1 2 x 2 x 3 x 1 0 变式2 用数轴标根法注意 未知数系数必须为正 偶次根不穿透 奇次根要穿透 分清根的大小 尤其是