李广老师 量子力学导论 课件Chap11-1.ppt

第十一章量子跃迁 1 量子态随时间的演化量子态问题的分类哈密顿量不含时的体系2 量子跃迁几率 含时微扰论量子跃迁含时微扰论3 量子跃迁理论与不含时微扰论的关系不含时微扰论的分类常微扰 4 能量 时间测不准关系能量 时间测不准关系的引入普遍情形5 光的吸收和辐射的半经典处理光的吸收与受激辐射自发辐射的爱因斯坦理论 内容提要 11 1量子态随时间的演化 1 量子态问题的分类 体系可能状态 力学量本征态与本征值问题量子力学基本假定之一 力学量的观测值与力学量相应算符的本征值对应 例如 能量本征态和本征值问题 假设哈密顿量不显含时间t 能量本征方程但能级往往有简并 必须找到一组含哈密顿量在内的力学量完全集 得到共同本征态 用一组量子数才能标记清楚简并的各态 2 体系的状态随时间的演化问题量子力学基本假定之二就是 体系状态随时间的演化遵守含时的薛定谔方程 即2 哈密顿量不含时的体系若 H t 0 则体系能量为守恒量 此时 t 可写为其中 U t 为时间演化算符 U t exp iHt 在能量表象中 体系任何初始态 0 均可用能量本征态 n展开 即 其中 注意 n是含H在内的一组力学量完全集的共同本征态 n代表一组完备的量子数 将t时刻的态记为 t 显然有 特例 如果体系一开始的初态就是某个本征态 k 相应的能量本征值是Ek 则an nk 便有 即体系以后将保持原来的能量本征态 为定态 相反 如果体系初态就不处于某一个能量本征态 则以后也不会处于该本征态 而是很多本征态的叠加 3 例题 设一个定域电子处于沿x方向的均匀磁场B中 忽略电子的轨道运动 电子内禀磁矩与外磁场的作用为设初始时刻 电子自旋态为sz的本征态sz 2 即 求t时刻的电子自旋 t 解 从哈密顿量分析可知 现在的体系能量本征态为 x的本征态 记为 则 电子的初态为 则 所以 11 2量子跃迁几率 含时微扰论 1 量子跃迁 Quantumtransition 实际上 关注的重点在于 当体系在某种外界作用下 体系在定态之间的跃迁几率 体系初态为 当外界作用H t 加上后 哈密顿量变为 设无外界作用时 体系哈密顿量不显含时间 记为H0 F为一组含H0在内的力学量完全集 共同本征态记为 n n为一组完备的量子数 体系受H 作用后 F中所有力学量不再都还是守恒量 体系不再保持在原来的本征态 而变为F所有本征态的叠加 在t时刻测量F 得到Fn的测值几率为 也可理解为从初态 k跃迁到 n态的跃迁几率 跃迁速率 Transitionrate 单位时间内的跃迁几率 即 给定初始条件 如何求解Cnk t 注意 令人感兴趣的量子跃迁是初态和末态的不同态之间的跃迁 但由于能级一般有简并 所以量子跃迁不一定意味着末态能量与初态能量不同 如完全弹性散射 初态和末态波函数不同 但能量却相同 跃迁速率方程 上式两边左乘 k 积分得 其中 2 含时微扰论 分析 对于一般的H t 矩阵元Hk n 很难计算 但如果H 很微弱 H H0 可以想见 Cnk t 2将随时间缓慢变化 体系仍有很大的几率处于原本的初态 即 Cnk t 2 1 n k 此时 可借用微扰逐级近似的办法 即含时微扰来求解 1 零级近似忽略H 的影响 2 一级近似 按照微扰论 右边的Cnk t Cnk0 t nk 积分后得 因此 准确到一级近似下 当k k 初末态不同 跃迁几率公式 讨论 a 公式的适用条件跃迁几率很小 仍有很大几率停留在初始状态b 跃迁几率与初态k 末态k 和微扰H 都有关c 如果H具有某种对称性 使H k k 0 则Pk k 0 即在一级微扰近似下 不能从初态k跃迁到k 态 或者说从k态到k 态的跃迁是被禁止的 forbidden 此即选择定则d H 是厄密算符 H k k H k k 所以 在一级近似下 从k态跃迁到k 态的跃迁几率等于从k 到k态的几率 k k e 由于能级一般有简并 而且初末态的简并度各不相同 所以 从能级Ek 到能级Ek的跃迁几率一般不等于从能级Ek到能级Ek 的几率f 对于简并态 要计算跃迁到能级Ek 的跃迁几率 需要将Ek 能级的各简并态的跃迁几率都要考虑进去g 如果初态 有简并 未确定 则从从初态各简并态出发的各种跃迁几率都要逐个计算 再求平均 假定各简并态出现的几率相同 即对初始能级各简并态求平均 对终止能级各简并态求和 例如 一般中心力场粒子能级Enl的简并度为 2l 1 因为m l l 1 l 1 l 则从Enl En l 的跃迁几率为 其中表示从nlm到n l m 的跃迁几率 3 例题 1 考虑一维谐振子 电荷为q 初始 t 时刻处于基态 0 设微扰 为外电场强度 为参数 求从基态到 n 态的跃迁几率 解 从 0 跃迁到 n 态跃迁 所以跃迁只发生在 0 到 1 即第一激发态之间 讨论 如果 微扰无限缓慢的被引入 则可见 粒子仍然保持在基态 不跃迁 2 突发微扰 suddenperturbation 设体系受到了一个有限的突发微扰作用解 按照薛定谔方程 可见 有限的突发微扰并不改变体系的状态 即末态与初态相等 注意 有限突发微扰的时间 远远小于体系的特征时间 例如 衰变 原子核 Z N Z 1 N 1 原子释放一个电子 电子速度接近光速 持续时间为T a Zc a为玻尔半径 原子中1s轨道电子运动的特征时间 a Z Z c 137 精细结构常数 T 设原子序数Z远小于137 衰变前原子中1s电子状态来不及改变 仍维持原本的状态 但原子核电荷