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关于定直线上的动点到两定点间距离之和的最小值问题 永寿县店头中学 赵小亚摘要：通过轴对称变换，将已知点映射到直线另一侧而不改变线路的长度，然后将对称点与已知点连接成一条线段，根据“两点之间线段最短”求出最短线路的途径。这种方法在解决距离最小值或周长最小值问题中有广泛的应用。在九年级数学试卷中经常出现“关于定直线上的动点到两定点间距离之和的最小值问题”，学生的得分率往往不高于50%左右。在这里，我把它们作以简单归纳整理。条件：如下图（1）,A、B直线l同旁的的两个定点。问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小。方法：作点关于直线l的对称点，连接交l于点P，则P+PB= B的值最小。证明：如图（2），在直线l上任取一点C，连接AC，AC，、关于直线对称，又、在直线上l上，从而最小例1已知如图（3），在菱形ABCD中，DAB=60， AB=6，M为AB的中点，点P在对角线AC上，求点P在何处时，PM+PB的和最小？并求最小值。分析：与上例类似，将PM+PB转化在一条直线上。解：由上例可知，AC为对称轴，点B的对称点为点D，连接DM与AC的交点为点P，P点就是所求的点。此时PM+PB=PD +PM=DM根据题意得，ABD为等边三角形，边长为6，DM为边上的高线，所以DM=33，即PM+PB=33。例2. 如图（4），O的半径为2，点A,B,C在O上，OAOB，AOC，P是OB上一动点，请计算PAC的最小值。分析：找点A或C关于OB对称点，连接C，与交于点，A即为所求的最小值。解：做点关于直线OB的对称点，根据圆的对称性的为圆的直径，连接交于点，则PA+PC为最小值。由AOC，3易得PC=的值为3.例.如图（），AO，是AO内一点，Q，R分别是OA，OB上的动点，求PQR周长的最小值。分析：只需在OB，OA上分别找一点，使RP+PQ最小。解：分别做点P关于直线OB，OA的对称点PP，连接，PP分别交OAOB于点QR则PR+RQ+PQ= PP为PQR周长的最小值。由AOB45，易得P1OP2=90，又OP1=OP=OP2=10,P1P2=102PQR周长的最小值是102例4.如图（6），已知点A（4,3），B（5,1），点P是直线y=x上一动点，点Q是x轴上一动点，求四边形ABQP周长的最小值。分析：四边形ABQP的周长是AB+AP+PQ+BQ，而AB是定值，只需求AP+PQ+BQ最小值。解：分别作出点A和点B关于直线y=x和x轴的对称点A（3,4），B（5，-1），连接A、B，交x轴于点Q，交直线y=x于点P，此时四边形ABQP的周长最短。分别过点A、B做x轴,y轴的垂线，交于点C，在RtABC中，由勾股定理得AB=AC+ BC=+=29在RtABD中，由勾股定理得AB=AD+BD=2+1=5所以，四边形ABQP的周长最小为29+5。以上几个例题都是关于定直线上的动点到两定点距离和的最小值问题，它们都有一共同的特征是：动点在一条定直线上，两个定点在定直线的同侧或两侧。要解决这一类问题的，一般是以这条定直线为对称轴，然后作其中一个定点关于这条定直线为对称轴的对称点；再连接这个对称点到另一个定点的连线即可。试一试1如图(7)所示,正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值为多少?2 如图7，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，3），B（4，1）。（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=_时，PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=_时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m = _,n