8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉.doc

包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密的基础之上.反映实数集完备性的几个基本定理是实数理论的重要组成部分也是数学分析中的一个难点，本人再次将实数完备性认真的学习了一遍，并查找资料，对其相关的命题、定理加以整理，找出几种七个基本定理的等价性证明. 关键词：实数集完备性 基本定理的等价性证明 1 引言每个人从小都要学数数，从1、2、3开始学习自然数.两个自然数相加，相乘仍然是自然数.此时可称自然数对加法和乘法两种运算完备；学到减法，当遇到“小-大”或除法时，已不是自然数.于是数系先扩充到整数集，再扩充到有理数集，在有理数集内“+”、“-”、“”、“”四则运算封闭.现代人对数的认识和学习是符合数集形成和扩充的历史过程的，有理数集是一个比较完美的数集.它具有以下性质：1）稠密性； 2）对四则运算的封闭性； 3）元素的有序性；任意两数均可比较大小.这些性质使古希腊人认为有理数集就是所有数的全体，而且设想把它们由小到大，连续无空隙地排列在一条直线上，即把有理数与数轴上的点之间建立一一对应关系.这种设想使古希腊学者毕达哥拉斯喊出他的哲理名言“万物皆有数”（有理数）.但是事实并非如此.毕氏学派一学徒希帕索斯发现了正方形的边长与对角线不可公度，即不是数（有理数），这就引发了数学史上的第一次数学危机，它动摇了古希腊几何理论的基础，也第一次向人们揭示了有理数的缺陷.它表明，虽然有理数密密麻麻地排在数轴上，但并没有铺满整条数轴，数轴上还有许许多多不能用有理数填补的“空隙”.这个问题直到牛顿、莱布尼茨建立微积分时仍未得到解决.一段时间后，关于实数连续性的公理才分别从不同的角度建立起来.极限理论是微积分学的基础，而极限的理论问题首先是讨论存在性.一个数列是否有极限，不仅与该数列本身的结构有关，而且与该数列所在的数集有关.例如在有理数集讨论极限，则单调有界数列可能没有极限.例如：单调有界的有理数列a=在单调有理数集上就没有极限.这表明有理数集关于极限运算不封闭.有理数集的这一不完备性（或称不连续性）给极限理论的研究带来很多不便之处.然而，实数集关于极限的运算是封闭的，即具有完备性（或连续性）.因此，将极限理论建立在实数集上，使微积分学建立在严密的基础之上.描述实数集的完备性有多种不同的方法.本文将介绍实数系完备性的七个等价定理，从确界原理出发，证明与其等价的六个关于实数集完备性定理.2 实数完备性的几个基本定理2.1 确界原理：设S为非空集合，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.2.2 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.注：确界定理和单调有界定理在有理数集上不一定成立.例如：从中学数学出发，将无理数理解为不循环十进无尽小数.取的有效不足近似值数列：=1，=1.4，=1.41，得到严格增加的有理数数列，它有上界且收敛于，这表明单调递增数列a在有理数集中没有极限.若记A=a，则10，N，有0，按上确界的定义，存在数列中的某一项a,使a-N时，有-；另一方面，由于是的一个上界，故对一切，都有N时，有-+.即=.同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限等于它的下确界.3.2 BC证明：设，为一闭区间套，则它满足：(1) ,n=1,2,3；(2) （-） =0；于是有 .为递增有界数列根，为递减有界数列.根据单调有界定理，有极限，且有,n=1,2,3，.同理，也有极限，且由（2），有=+a=0+=.且, n=1,2,3，.综上，知,.最后证明满足,中的是唯一的.假设R，使，n=1,2,3，.于是.根据保号性，有|-|（-） =0，故有=.是唯一的 .3.3 CD 证明：（用反证法）假设定理的结论不成立，即H中任意有限个开区间都不能覆盖,b.将,b 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能被H中有限个开区间覆盖.记这个子区间为,，则,b，且-=.再将，等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能被H中有限个开区间覆盖.记这个子区间为,，则, ,，且-=.重复上述步骤，得到一个闭区间列.它满足：(1)，n=1,2,3,； (2)=0，即,是一闭区间套；(3)每一个闭区间,都不能被H中有限个开区间覆盖；而根据区间套定理，存在唯一的一点,，n=1,2,3，.使a=.由于H是a.b的一个开覆盖，故存在开区间（，）H，使（，）.于是，由区间套定理可推出：当n充分大时有,（，），这表明开区间,只须用H中的一个开区间（，）就能覆盖，与,构成时的假设“不能用H中有限个开区间覆盖”相矛盾 ，假设不成立，即必存在属于H的有限个开区间也能覆盖,b .3.4 DE证明：设E为R中一个有界无穷点集，a与b分别为E的下界与上界，于是有E,b . （用反证法）假如E中无聚点，则x,b，x都不是E的聚点，于是存在包含x的开区间，使得中仅有E中的有限多个点.显然，开区间集H=|x,b是,b的一个开覆盖.根据有限覆盖定理，从H中存在有限个区间，也覆盖,b，由于E=（E）（E）（E）.又由已知E为无限集，显然等式右边为有限集，与已知E为无限集矛盾. 这表明假设E无聚点不成立.E中至少有一个聚点.3.5 EF证明：若数列有无限多项相等，设=显然，常数数列是收敛的子数列. 若数列没有无限多项相等，则有有界无限点集 E=.根据聚点定理，E至少有一个聚点.下面证明：存在子数列收敛于.根据聚点定义， 取. 取要求nn. 取，要求. 如此无限进行下去，构造了数列的子数列.因为，有 0，N,有(-1) .分别取=,n=1,2,3,则对每一个正整数n，存在相应的，使得为S的上界，而-不是S的上界，故存在S，使得-.又对正整数m,是S的上界。故有.结合上式得-,同理有-,从而得|-|0， 存在正整数N,使得当m,nN时，有|-|0,由0（n）及=则对充分大的n，同时有-,又因为-不是S的一个上界，故存在S，使得-.结合上式得-=-.这说明为S的上确界. 同理可证：若S为非空有下界数集，则必存在下确界。 在这里，完成了七个基本定理的一种顺序的循环证明.在实数系中,这几个命题是相互等价的，即从其中任何一个命题出发都可以推出其余的六个定理.主要参考文献：1 数学分析 上册 高等教育出版社2 数学分析附录实数理论 上册 华东师范大学3 数学分析 上册 复旦大学4 数学分析中的方法和若干问题 上册 湖南科技出版社 5 数学分析习题课讲义 上册 高等教育出版社 6 集合论与现代数学基础