2018年高中数学_第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角课件3 新人教b版选修2-1

3 2 3直线与平面的夹角 Bqr6401 O A B 一 复习引入 O A B 二 新课探究 A l B O 探究一已知OA是平面 的斜线段 O为斜足 线段AB 于B 则直线OB是斜线OA在平面 内的正射影 设OM是 内通过O点的任意一条直线 OA与OB所成角为 1 1是锐角 OB与OM所成角为 2 OA与OM所成角为 那么 1 2之间有怎样的关系 由于是单位向量 故有 因此 在直线OM上取单位向量 则 即 所以 二 新课探究 A l B O 最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角 是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角 斜线和它在平面内的射影所成的角是唯一的 二 新课探究 概念 斜线与平面所成角定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条斜线和这个平面所成的角 斜线与平面的夹角 直线和平面所成角的范围是 0 90 范围 0 90 线面角的实质 空间角 平面角 线面角 线线角 二 新课探究 探究二 求直线与平面所成角的基本方法 1 几何 定义 法 例题 正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求A1B与平面ABCD所成的角 2 求A1B与平面A1B1CD所成的角 思路 找出A1B在平面内的射影 A B C D A1 B1 C1 D1 M 所以A1M是A1B在平面A1B1CD内的射影 解 连接BC1 交B1C于M 连接A1M 在正方体ABCD A1B1C1D1中 各面均为正方形 设其棱长为 所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30 BA1M为A1B与平面A1B1CD所成的角 在Rt BA1M中 二 新课探究 探究二 求直线与平面所成角的基本方法 变式 正方体ABCD A1B1C1D1中 若 分别是 1 1 1 1的中点 求A1B与平面BD 所成的角 A1B在平面BD 内的射影不好找 怎么办 二 新课探究 二 新课探究 2 向量求法 变式 正方体ABCD A1B1C1D1中 若 分别是 1 1 1 1的中点 求A1B与平面BD 所成的角 思路 利用法向量与直线方向量所成角 A B C D D1 解 建立如图所示坐标系 设正方形边长为1 则 令则 A1 1 0 1 B 1 1 0 M 1 2 1 1 N 0 1 2 1 D 0 0 0 设平面A1B1CD的法向量为 设A1B与平面A1B1CD所成的角为 故A1B与平面A1B1CD所成的角为45 思考 三 新知应用 例2 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 求EB与底面ABCD所成的角正切值 P A B C D F 几何法 解 D 0 0 0 A 2 0 0 B 2 2 0 P 0 0 2 E 0 1 1 底面ABCD的法向量为 EB与底面ABCD所成的角正切值为 X Y Z 向量法 三 新知应用 例2 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 求EB与底面ABCD所成的角正切值 五