2019高考数学一轮复习_第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质课件 理

考点一直线与平面垂直的判定与性质1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义如果直线l和平面 内的 任意一条直线都垂直 我们就说直线l与平面 垂直 记作l 2 直线与平面垂直的判定方法a 判定定理 一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直 那么这条直线就垂直于这个平面 b 结论 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 用符号可表示为 b 知识清单 3 直线与平面垂直的性质a 由直线和平面垂直的定义知 直线垂直于平面内的 任意直线 b 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 用符号可表示为 a b c 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 用符号表示为 b 2 直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 该直线与平面所成的角是直角 一条直线和平面平行 或在平面内 则此直线与平面所成的角是0 的角 考点二平面与平面垂直的判定与性质1 二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 如果记棱为l 那么两个面分别为 的二面角记作 l 在二面角的棱上任取一点 以该点为垂足 在两个半平面内分别作 垂直于棱的射线 则两射线所构成的角叫做二面角的平面角 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 2 平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线 那么这两个平面互相垂直 简述为 线面垂直 则面面垂直 记为 3 平面与平面垂直的性质两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 用符号可表示为 m 1 利用定义 要证明直线a 平面 转化为证明直线a垂直于平面 内的任何一条直线c 2 利用判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直 那么这条直线就和这个平面垂直 即 l 简言之 线线垂直 线面垂直 3 可作定理用的正确命题 如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 直线与平面垂直的判定方法 方法技巧 4 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 5 面面平行的性质 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 则这条直线也垂直于另一个平面 即 a 例1 2017河北百校联盟2月模拟 19 12分 如图1 以BD为直径的圆O经过A C两点 延长DA CB交于P点 将 PAB沿线段AB折起 使P点在底面ABCD的射影恰为AD的中点Q 如图2 AB BC 1 BD 2 线段PA PB PC的中点分别为G E F 1 求证 PQ 平面GEF 2 求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值 解题导引 解析 1 在 PAB中 因为G E分别是PA PB的中点 所以GE AB 因为AB 平面ABCD GE 平面ABCD 所以GE 平面ABCD 同理 EF 平面ABCD 又GE EF E 所以平面GEF 平面ABCD 由题意得PQ 平面ABCD 所以PQ 平面GEF 4分 2 因为PQ 平面ABCD AD 平面ABCD 所以PQ AD 又Q为AD的中点 APD为等腰三角形 AB BC 1 BD 2 AD CD ADC 在题图1的Rt PCD中 APB 在Rt PBA中 PA 又AQ QD 在Rt APQ中 PQ 连接AC CQ 易知PQ QC ADC为等边三角形 CQ AD 6分 如图 以Q为原点 以QC所在直线为x轴 QD所在直线为y轴 QP所在直线为z轴建立空间直角坐标系Q xyz 则Q 0 0 0 D C P B A 设平面PAB的法向量为n1 x1 y1 z1 则令z1 1 则n1 0 1 9分 设平面PCD的法向量为n2 x2 y2 z2 则令x2 1 则n2 1 1 11分 于是 cos 故平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 12分 1 证明两个平面垂直 主要的途径是 利用面面垂直的定义 即两平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面垂直 利用面面垂直的判定定理 即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面垂直 2 利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法 先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线在图中存在 则可通过线面垂直来证明面面垂直 若这样的直线在图中不存在 则可通过作辅助线来解决 而作辅助线应有理论根据并有利于证明 不能随意添加 3 证明两个平面垂直 通常是通过证明线线垂直 线面垂直 面面垂直来实现的 因此 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 平面与平面垂直的证明方法 例2 2017课标全国 19 12分 如图 四面体ABCD中 ABC是正三角形 ACD是直角三角形 ABD CBD AB BD 1 证明 平面ACD 平面ABC 2 过AC的平面交BD于点E 若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分 求二面角D AE C的余弦值 解题导引 解析本题考查面面垂直的证明 二面角的求法 1 由题设可得 ABD CBD 从而AD DC 又 ACD是直角三角形 所以 ADC 90 取AC的中点O 连接DO BO 则DO AC DO AO 又由于 ABC是正三角形 故BO AC 所以 DOB为二面角D AC B的平面角 在Rt AOB中 BO2 AO2 AB2 又AB BD 所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2 故 DOB 90 所以平面ACD 平面ABC 2 由题设及 1 知 OA OB OD两两垂直 以O为坐标原点 的方向