《数列不等式的证明》教案.doc

好题多数列不等式的证明教案黄冈中学数学组 阮莉华【教学内容】1数列不等式证明中常见的几种方法和技巧；2从不同的角度入手探讨数列不等式的证明.【教学目标】1能够通过分析,化解复杂的论证过程； 2掌握几种不等式证明的基本方法，并能对新的问题进行多方探究； 3通过运用不同方法解题，揭开数列不等式证明的神秘面纱，培养学生善于思考、勇于探究、敢于创新的思想品质. 【教学重点】 分析数列的特征选择合理的方法证明不等式.【教学难点】 灵活应用所学知识对数列不等式进行合情分析并合理证明.【教学过程】数列是一种特殊的函数，是高中代数的重要内容，也是与高等数学衔接的内容，由于其在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以在高考中占有很重要的地位。数列知识在高考中大题和小题都有考到，小题一般以等差等比为载体，以中低难度题见多；大题一般综合性较强，经常在与函数、不等式、解析几何等各种知识交汇点处命题，大部分是压轴题或倒数第二题，起到拉距离的作用。 统计发现：2005年全国高考共16套，每套均有数列综合题，其中有6道涉及到数列不等式的证明；2006年全国高考共18套，每套均有数列综合题，其中有9道涉及到数列不等式的证明；2007年全国高考共18套，每套均有数列综合题，其中有9道涉及到数列不等式的证明；我省湖北近三年的高考题每年都考到数列不等式的证明；这其中有两个方面的热点，一是与递推关系有关的综合问题，另一个热点就是我们今天要复习的数列不等式的证明。首先我们来看一道试题-一例题讲解例（08年武汉市二月份调研试题）在数列中，其中且，且满足关系式：，.（1）猜想出数列的通项公式并用数学归纳法证明之；（2）求证：，.分析与解答：（1）（略）答案：（2）证明一：（比较法）当时，因为所以 因为且，所以，所以对都有.点评：在平时学习中要注意多积累一些常见的结论，通过适当变形，即能得证.本题中用的是来进行辅助变形证明.证明二:(数学归纳法)（I）由题意知，得，所以；（II）假设时有，即，也即是；那么，因为，因为且，所以，故，即时也有；（III）综上所述，当时，总成立.点评：数学归纳法要注意找出时的结论与时的结论之间的差异；本题用数学归纳法还可以现将证明不等式等价转换成证明，这样做在发现时的结论与时的结论之间的差异上显得简洁.证明三：（分析法综合）要证明对都有，也即是要证明，也就是要证明设，要证明对都有，也即是要证明，也就是要证明设，在令，则有当时，故，；当时，故；所以函数在上单调递增；由于函数当时也有意义，且在定义域上连续，所以再证令，则，10减增由上面表格可知，即，所以，即在上单调递增，所以当时，有，即，所以，.证明四:（分析综合法）由题意可知即是要证明当且，时恒有，也即是要证明对且，恒成立，令，其定义域为，10减增由上面表格可知，即得证.点评：证明方法三和四采用分析综合法，利用了函数的导数可以用来判断函数单调性，来证明不等式.这在函数不等式的证明中已是司空见惯，但在数列不等式证明中也是一个很好的工具；方法四比方法三又要略胜一筹，采用了变换主元的方法.方法五：（综合法）设，则，令，则，因为，且，所以，即，所以，即在上是单调递增函数，故当时总有，即时恒有成立.点评：这是从数列本身就是一个特殊函数入手，先判断函数单调性，再证明数列增减性.方法六：（分析法）要证明时，也就是要证明 式左边右边，因为，所以等号取不到，即式左边右边.故时，成立.点评：采用分析法，结合均值不等式的放缩技巧，使证明简单明了，干净利落.方法三欣赏：小结：以上运用比较法、综合法、分析法、数学归纳法等是证明了数列不等式，对于一般不等式证明常用的这些方法，比如还有反证法也都是证明数列不等式常用的方法；在综合应用这些证明方法的过程中，结合一些数学技巧，如放缩法、函数单调性法、均值不等式法、构造法等，值得注意的是，数列不等式的证明相对于一般的代数不等式的证明，又有其独有的特征，比如数列的递推关系会带来一些先求和再证明的问题.正因为数列本身具有的特性，有关数列不等式证明题丰富多彩，对能力的要求也很高，注重对能力的考查，特别是对所学知识的运用能力，归纳猜想的能力、转化能力、逻辑思维能力、以及综合迁移的能力等.二练习点拨（2007年重庆）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，（）求的通项公式；（）设数列满足，并记为的前项和，求证：解析：（I）可以求得数列的通项为（II）证法一：由可解得；从而因此令，则因，故特别地，从而即证法二：证法一求得及令，因因此从而证法三：同证法一求得及，由二项式定理知，当时，不等式成立由此不等式有证法四：同证法一求得及下面用数学归纳法证明：当时，因此，结论成立假设结论当时成立，即则当时，因故从而这就是说，当时结论也成立综上对任何成立从上面的探讨，我们可以看出，在今后的数学学习过程中，我们除了要加强数学基础知识的学习，还要学会用数学思想方法来研究问题，只有这样，我们才能以不变应万变，才能提高我们的创新能力和实践能力。注明：第二题灵活处理，视学生掌握程度而定.三高考演练：1.( 2006年湖南19题)已知函数，数列满足：，.证明：(1) ；（2）.2.（2007年湖北21题）已知为正整数，（1）用数学归纳法证明：当时，；（2）对于，已知，求证，求证，；3（2006年福建22题）已知数列满足，.（1）求数列的通项；（2）证明.附答案：1. 证明：（1）先证明数学归纳法证明，.当时，由已知，结论成立.假设当时，结论成立，即.因为时，所以在上是增函数，又在上连续，从而，即，故当时，结论成立.由可知，对一起正整数都成立.又因为时，所以.综上所述可知.(2）设函数，.由（1）知，当时，.从而，所以在上是增函数，又在上连续，且，所以当时，成立.于是，即，故成立. 2. 解法1：（1）证：（用数学归纳法证明）（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立（2）证：当时，由（）得，于是，解法2：（1）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，（）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，因