高中数学平面向量专题复习(含例题练习).doc

专题 平面向量一、复习要求一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如2、 向量的表示1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。四实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反，当0时，注意：0。五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。2平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。4的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。5向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹角的计算公式：；。六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法则”：设。2坐标运算：设，则：向量的加减法运算：，。实数与向量的积：。若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如平面向量数量积：。向量的模：。两点间的距离：若，则。七向量的运算律：1交换律：，；2结合律：，；3分配律：，。八向量平行(共线)的充要条件：0。九向量垂直的充要条件： .十向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）。（3）在中，若，则其重心的坐标为。 （4）向量中三终点共线存在实数使得且.例1、若向量方程，则向量等于_。例2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的一个是（D）A、与为平行向量 B、与为模相等的向量 C、与为共线向量 D、与为相等的向量例3、例4、下列各组的两个向量，平行的是A、， B、， C、， D、，例5、若分所成的比为，则分所成的比为例6、已知，则与的夹角为A、 B、 C、 D、CBAD例7、如图，在四边形中，设，则A、 B、 C、 D、 例8、点 ，按向量平移后的对应点的坐标是，则向量是A、 B、 C、 D、例9、已知，则线段的中点的坐标是_。例10、已知，则向量方向上的单位向量坐标是_。例11、在中，面积，则=_。例12、已知，（1）若，求；（2）若，求。例13、已知，与的夹角为，求。平面向量练习题1已知向量，则与 A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向2、已知向量，若与垂直，则（ ）AB CD43、若向量满足，的夹角为60，则=_；4.把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）ABCD5、已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）解析：是所在平面内一点，为边中点， ，且， ，即，选A6、在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，则的可能值有A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【答案】B 【解析】解法一： （1） 若A为直角，则； （2） 若B为直角，则；（3） 若C为直角，则。所以 k 的可能值个数是2，选B 7、若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 AB. C. D. 8、若非零向量满足，则（） 【答案】：C【分析】：由于是非零向量，则必有故上式中等号不成立 。 。故选C.9、已知平面向量，则向量（） 10、如图，在四边形ABCD中，则的值为（ ）A.2 B. C.4 D.11、已知向量且则向量等于（A） （B）（C）（D）12、若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）ABCD13、设，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（）（A） （B）（C）（D）解析：选A由与在方向上的投影相同，可得：即 ，14、（北京文11）已知向量若向量，则实数的值是15、如图，在中，点是的中点，