2018年高中数学_第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件6 苏教版选修2-1

2 4 2抛物线的简单几何性质 定义 在平面内 与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 抛物线的定义及标准方程 y2 2px p 0 x2 2py p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 一 温故知新 由抛物线y2 2px p 0 所以抛物线的范围为 二 探索新知 如何研究抛物线y2 2px p 0 的几何性质 抛物线在y轴的右侧 当x的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 即点 x y 也在抛物线上 故抛物线y2 2px p 0 关于x轴对称 则 y 2 2px 若点 x y 在抛物线上 即满足y2 2px 定义 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点 y2 2px p 0 中 令y 0 则x 0 即 抛物线y2 2px p 0 的顶点 0 0 注 这与椭圆有四个顶点 双曲线有两个顶点不同 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率 由定义知 抛物线y2 2px p 0 的离心率为e 1 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质 二 归纳 抛物线的几何性质 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y R x 0y R y 0 x R y 0 x R 0 0 x轴 y轴 1 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 思考 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 P越大 开口越开阔 补充 1 通径 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 PF x0 p 2 F P 通径的长度 2P P越大 开口越开阔 2 焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公式 标准方程中2p的几何意义 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 3 焦点弦 通过焦点的直线与抛物线相交于两点 连接两点的线段 焦点弦公式 F AB x1 x2 p y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 0 0 0 0 0 0 因为抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 解 所以设方程为 因此所求抛物线标准方程为 三 典例精析 坐标轴 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设为y2 2mx m 0 x2 2my m 0 可避免讨论 例 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 求它的标准方程 练习 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 2 已知点A 2 3 与抛物线的焦点的距离是5 则P 4 例2 斜率为1的直线经过抛物线的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 求线段AB的长 分析 直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形 一种是直线平行于抛物线的对称轴 另一种是直线与抛物线相切 判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的对称轴平行 相交 一个交点 计算判别式 分析 直线与抛物线有两个公共点时 0 分析 直线与抛物线没有公共点时 0 注 在方程中 二次项系数含有k 所以要对k进行讨论作图要点 画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形 观察直线绕点P转动的情形 例4 已知直线l y x 1和抛物线C y2 4x 设直线与抛物线的交点为A B 求AB的长 例5 已