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第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么勾股定理的证明：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为 方法三：，化简得证17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数。常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等例1、在RtABC中，a=3，b=4，求c错解：由勾股定理，得c=5诊断：这里默认了C为直角其实，题目中没有明确哪个角为直角，当ba时，B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况 当B为直角时，c=例2、已知RtABC中，B=RT，a=，c=，求b.错解：由勾股定理，得=诊断：这里错在盲目地套用勾股定理“a2b2=c2”殊不知，只有当C=Rt时，a2b2=c2才能成立，而当B=Rt时，则勾股定理的表达式应为a2c2=b2正确解答：B=Rt，由勾股定理知a2c2=b2b=例3、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为_错解：设第三边长为xcm由勾股定理，得x2=6282x=10即第三边长为10cm诊断：这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，第三边可能是斜边，也可能是直角边正确解法：设第三边长为xcm若第三边长为斜边，由勾股定理，得x=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得x=(cm)因此，第三边的长度是10cm或者cm.例4、如图，已知RtABC中，BAC=90，AD是高，AM是中线，且AM=BC=AD.又RTABC的周长是(6+2)cm.求AD正确解法AM=MD=又MC=MA，CD=MD点C与点M关于AD成轴对称AC=AM，AMD=60=CB=30，AC=BC，AB=BCAC+AB+BC=BC+BC+BC=6+.BC=4BC=AD， AD=(cm)例5、在ABC中，abc=91512， 试判定ABC是不是直角三角形正确解法 由题意知b是最长边设a=9k，b=15k，c=12k(k0)a2c2=(9k)2(12k)2=81k2144k2=225k2b2=(15k)2=225k2，a2c2=b2ABC是直角三角形例6、已知在ABC中，ABAC，AD是中线，AE是高求证：AB2AC2=2BCD
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