半导体物理第三章.ppt

半导体物理学 湖南科技大学物电学院盛威 2 第三章半导体中载流子的统计分布 1状态密度 2费米能级和载流子的统计分布 3本征半导体的载流子浓度 4杂质半导体的载流子浓度 5一般情况下的载流子统计分布 6简并半导体 3 完整的半导体中电子的能级构成能带 有杂质和缺陷的半导体在禁带中存在局部化的能级 实践证明 半导体的导电性强烈地随着温度及其内部杂质含量变化 主要是由于半导体中载流子数目随着温度和杂质含量变化 本章重点讨论 1 热平衡情况下载流子在各种能级上的分布情况2 计算导带电子和价带空穴的数目 分析它们与半导体中杂质含量和温度的关系 4 热激发 本征 导带电子价带空穴 载流子复合 晶格 热平衡状态T1 热平衡载流子 一定温度下 处于热平衡状态下的导电电子和空穴 热激发 本征 导带电子价带空穴 载流子复合 晶格 热平衡状态T2 5 半导体的导电性 温度T 载流子浓度随温度的变化规律计算一定温度下热平衡载流子浓度 电子如何按照能量分布 允许量子态按能量的分布 电子在允许量子态中的分布 6 费米和玻耳兹曼分布f E 能量 g E 量子态分布 f E 电子在量子态中分布 E到E dE之间被电子占据的量子态f E g E dE 载流子浓度n p随温度的变化规律计算一定温度下热平衡载流子n p浓度 电子如何按照能量分布 允许量子态按能量的分布 电子在允许量子态中的分布 状态密度g E 7 3 1状态密度 量子态 晶体中电子允许存在的能量状态 计算状态密度的方法 意义 g E 就是在能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数 dZ是E到E dE之间无限小的能量间隔内的量子态个数 算出单位k空间中量子态 k空间状态密度 算出k空间中能量E到E dE间所对应的k空间体积 并和k空间的状态密度相乘 求出dZ 利用求出 8 晶体中K的允许值为 1 18 3 1 1k空间中量子态的分布 先计算单位k空间的量子态密度 k空间中 由一组整数 nx ny nz 决定一个波矢k 代表电子的一个允许能量状态 这些允许量子态在k空间构成一个点阵 k在空间分布是均匀的 每个代表点的坐标沿坐标轴方向都是2p L的整数倍 对应着k空间中一个体积为8p3 V的立方体 单位体积k空间可包含的量子状态为V 8p3 考虑电子的自旋 则 单位k空间包含的电子量子态数即单位k空间量子态密度为2V 8p3 9 计算不同半导体的状态密度 考虑等能面为球面的情况 且假设极值位于k 0 导带底E k 与k的关系把能量函数看做是连续的 则能量E E dE之间包含的k空间体积为4pk2 dk 所以包含的量子态总数为将k用能量E表示 3 1 2状态密度 10 代入式 3 3 得到 根据公式 各向同性半导体导带底附近状态密度 价带顶附近状态密度 3 5 3 8 11 状态密度与能量的关系 表明 导带底 价带顶 附近单位能量间隔内的量子态数目 随着电子 空穴 的能量增加按抛物线关系增大 即电子 空穴 的能量越大 状态密度越大 12 对于各向异性 等能面为椭球面的情况设导带底共有s个对称椭球 导带底附近状态密度为 对硅 锗等半导体 其中的mdn称为导带底电子状态密度有效质量 对于Si 导带底有六个对称状态 s 6 mdn 1 08m0对于Ge s 4 mdn 0 56m0 13 同理可得价带顶附近的情况价带顶附近E k 与k关系价带顶附近状态密度也可以写为 但对硅 锗这样的半导体 价带是多个能带简并的 相应的有重和轻两种空穴有效质量 所以公式中的mp 需要变化为一种新的形式 14 对硅和锗 式中的mdp称为价带顶空穴状态密度有效质量对于Si mdp 0 59m0对于Ge mdp 0 37m0 15 把半导体中的电子看作是近独立体系 即认为电子之间的相互作用很微弱 电子的运动是服从量子力学规律的 用量子态描述它们的运动状态 电子的能量是量子化的 即其中一个量子态被电子占据 不影响其他的量子态被电子占据 并且每一能级可以认为是双重简并的 这对应于自旋的两个容许值 在量子力学中 认为同一体系中的电子是全同的 不可分辨的 电子在状态中的分布 要受到泡利不相容原理的限制 适合上述条件的量子统计 称为费米 狄拉克统计 3 2费米能级和载流子的统计分布 16 3 2 1费米分布函数 1 费米分布函数的意义 在热平衡状态下 电子按能量大小具有一定的统计分布规律 一定温度下 低能量的量子态高能量的量子态 电子跃迁 单个电子 大量电子 能量时大时小 经常变化 电子在不同能量的量子态上统计分布概率是一定的 17 EF 费米能级或费米能量 与温度 半导体材料的导电类型 杂质的含量以及能量零点的选取有关 k0 玻耳兹曼常数T 绝对温度 电子的费米分布函数 它是描写热平衡状态下 电子在允许的量子态上如何分布的一个统计分布函数 量子统计理论 对于能量为E的一个量子态被电子占据的概率为f E 为 服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计律 一个很重要的物理参数 在一定温度下电子在各量子态上的统计分布完全确定 18 将半导体中大量电子的集体看成一个热力系统 由统计理论证明 费米能级EF是系统的化学势 系统的化学势 F 系统的自由能 思考 能量为E的量子态被空穴占据的概率是多少 意义 当系统处于热平衡状态 也不对外界作功的情况下 系统中增加一个电子所引起系统自由能的变化 等于系统的化学势 也就是等于系统的费米能级 而处于热平衡状态的系统有统一的化学势 所以处于热平衡状态的电子系统有统一的费米能级 19 2 费米分布函数f E 的特性 T 0K时 EF可看成量子态是否被电子占据的一个界限 T 0K时 EF是量子态基本上被电子占据或基本上是空的一个标志 20 一般可以认为 在温度不很高时 能量大于费米能级的量子态基本上没有被电子占据 而能量小于费米能级的量子态基本上为电子所占据 而电子占据费米能级的概率在各种温度下总是1 2 E EF 5k0T f E 0 993 费米能级的位置比较直观地标志了电子占据量子态的情况 通常就说费米能级标志了电子填充能级的水平 EF高 则说明有较多的能量较高的量子态上有电子 温度升高 电子占据能量小于费米能级的量子态的概率下降 而占据能量大于费米能级的量子态的概率增大 21 3 2 2玻耳兹曼分布函数 令 玻耳兹曼分布函数 在一定T时 电子占据能量为E的量子态的概率由指数因子所决定 量子态为电子占据的概率很小 泡利原理失去作用 两种统计的结果变成一样了 22 能量为E的量子态不被电子占据的概率也就是量子态被空穴占据的概率 玻耳兹曼分布函数 能量为E的量子态被电子占据的概率 空穴的玻耳兹曼分布函数 说明 空穴占据能量为E的量子态的概率很小即这些量子态几乎都被电子所占据了 23 非简并性系统 服从玻耳兹曼统计律的电子系统简并性系统 服从费米统计律的电子系统 思考 导带中绝大多数电子分布在导带底附近价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近 半导体中 EF常位于禁带内 且与导带底或价带顶的距离远大于k0T 对导带中的所有量子态来说被电子占据的概率 一般都满足f E 1故其电子分布可用玻耳兹曼分布函数描写 对价带中的所有量子态来说被空穴占据的概率 一般都满足故其空穴分布可用玻耳兹曼分布函数描写 Why 24 非简并半导体和简并半导体非简并半导体 指导带电子或价带空穴数量少 载流子在能级上的分布可以用波尔兹曼分布描述的半导体 其特征是费米能级EF处于禁带之中 并且远离导带底Ec和价带顶Ev 简并半导体 是指导带电子或价带空穴数量很多 载流子在能级上的分布只能用费米分布来描述的半导体 其特征是EF接近于Ec或Ev 或者EF进入导带或价带之中 25 习题 计算能量在到之间单位体积的量子态数 解 导带底附近每单位能量间隔内的量子态数为 则在导带底Ec附近dE能量间隔之间的量子态数为gc E dE在导带底Ec附近能量间隔dE之间的单位体积的量子态数为 26 故能量在E Ec到之间单位体积的量子态数为 27 当为时 分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率 解 费米分布函数为 玻尔兹曼分布函数为 f E 18 1 8 0 fB E 22 1 8 0 将 代入 28 费米和玻耳兹曼分布f E 能量 g E 量子态分布 f E 电子在量子态中分布 E到E dE之间被电子占据的量子态f E g E dE 载流子浓度n p随温度的变化规律计算一定温度下热平衡载流子n p浓度 电子如何按照能量分布 允许量子态按能量的分布 电子在允许量子态中的分布 状态密度g E 3 2 3导带中的电子浓度和价带的空穴浓度 29 对导带而言 被电子占据量子态 一个被占据量子态对应一个电子 在能量区间求和 即从导带底到导带顶对f E gc E dE积分 能带中的电子总数 导带中的电子浓度 除以半导体体积 E E dE之间 量子态 30 简单能带 f E g E 1 f E g E f E 非简并 31 1 非简并情况下 导带中电子浓度 E E dE间的电子数dN 热平衡状态下非简并半导体的导带电子浓度n0 积分 导带顶能量 32 令 33 x 取值 导带宽度典型值为1 2eV 目前对一般半导体器件有兴趣的最高温度为500K 导带电子大多数在底部附近 玻耳兹曼分布 电子占据概率随能量增加而迅速下降 电子数极少 与差别不大 或者可以这样理解 34 35 导带中电子浓度为 导带的有效状态密度 是温度的函数 非简并条件下电子占据能量为Ec的量子态的概率 如何理解 则n0为Nc中有电子占据的量子态数 36 2 非简并情况下 价带中空穴浓度 价带的有效状态密度 是温度的函数 非筒并条件下空穴占据能量为Ev的量子态的概率 如何理解 则p0为Nv中有空穴占据的量子态数 37 小结 思考 推导空穴浓度表达式 温度 半导体材料的导电类型 杂质的含量以及能量零点的选取有关 38 3 2 4载流子浓度乘积n0p0 39 讨论 电子和空穴浓度乘积和费米能级无关 一定的半导体材料 Eg确定 n0p0是决定于温度T 与所含杂质无关 T一定时 n0p0与Eg有关 这个关系式适用于热平衡状态下的非简并半导体 本征 杂质半导体 T 半导体材料 Eg 确定后 n0p0一定 n0 p0 40 3 3本征半导体的载流子浓度 本征半导体 没有杂质和缺陷的半导体 T 0K 价带全满 导带空T 0K 本征激发 电子和空穴成对出现 n0 p0 41 n0 p0 取对数 Nc Nv代入 所得本征半导体的费米能级EF常用Ei表示 intrinsic 42 讨论 EF约在禁带中线附近1 5k0T范围内 本征半导体费米能级Ei基本上在禁带中线处 例外 锑化铟 室温时Eg 0 17eV Ei已远在禁带中线之上 43 本征载流子浓度 一定的半导体材料 Eg ni随温度的升高而迅速增加 同一温度T时 不同的半导体材料 Eg越大 ni越小 说明 在一定温度下 任何非简并半导体的热平衡载流子浓度的乘积等于该温度时的本征载流子浓度ni的平方 与所含杂质无关 即上式适用于本征 以及非简并的杂质半导体 本征 非简并 44 将Nc Nv表达式代入 h k0的数值 电子质量m0 45 据此 作出关系曲线 基本上是一直线 讨论 一般半导体中 载流子主要来源于杂质电离 而将本征激发忽略不计 在本征载流子浓度没有超过杂质电离所提供的载流子浓度的温度范围 杂质全部电离 载流子浓度是一定的 器件才能稳定工作 每一种半导体材料制成的器件都有一定的极限工作温度 超过这一温度 本征激发占主要地位 器件就失效了 硅器件的极限工作温度520K 锗 370K Eg小 GaAs 720K Eg比Si大 适宜于制造大功率器件 本征载流子浓度随温度迅速变化 器件性能不稳定 所以制造半导体器件一般都用含有适当杂质的半导体材料 从直线斜率可得T 0K时的禁带宽度Eg 0 2k0 斜率 46 3 4杂质半导体的载流子浓度 1 杂质能级上的电子和空穴 电子占据杂质能级的概率可用费米分布函数决定吗 电子占据 未电离的施主杂质能级已电离的受主杂质能级 47 能带中的能级可以容纳自旋方向相反的两个电子 施主杂质能级或者被一个有任一自旋方向的电子所占据 或者不接受电子 不允许同时被自旋方向相反的两个电子所占据 可以证明 空穴占据受主能级的概率 电子占据施主能级的概率 48 施主浓度ND和受主浓度NA就是杂质的量子态密度电子和空穴占据杂质能级的概率分别是 施主能级上的电子浓度nD为 即没有电离的施主浓度 受主能级上的空穴浓度pA为 电离施主浓度为 电离受主浓度为 即没有电离的受主浓度 49 讨论 杂质能级与费米能级的相对位置明显反映了电子和空穴占据杂质能级的情况 当说明了什么 当重合时 即施主杂质有1 3电离 还有2 3没有电离 取gD 2 同理 当EF远在EA之上时 受主杂质几乎全部电离 当EF远在EA之下时 受主杂质基本上没有电离 当EF等于EA时 取gA 4受主杂质有1 5电离 4 5没有电离 思考题 50 区别何在 3 4 2n型半导体的载流子浓度 只含一种施主杂质的n型半导体 51 52 电中性条件 求出EF 关键所在 方法 利用电中性条件 确定该状态的费米能级 T EF确定后 计算 53 1 低温弱电离区 如何求EF 较困难 按不同温度范围讨论 远比ND为小 与温度 杂质浓度 杂质种类有关 大部分施主杂质能级仍为电子所占据 少量施主电离 弱电离 价带中只靠本征激发跃迁至导电的电子数更少 取对数简化 54 讨论 低温弱电离区EF与T关系 可以了解EF随温度升高的变化情况 T 0k时 Nc 0 dEF dT 上升快T Nc dEF dT T T dEF dT 0 开始下降 杂质含量越高 EF达到极值的温度也越高 55 为直线 直线斜率为 可通过实验测定n0 T关系 确定杂质电离能 从而得到杂质能级的位置 转67页 本征Eg的算法如何求 与温度的关系是什么 取对数简化 56 2 中间电离区 T 2Nc ND EF下降至以下 当温度升高到EF ED时 施主杂质有1 3电离 57 当温度升高至大部分杂质都电离时称为强电离 饱和区 n0 ND 此时载流子浓度与T无关 3 强电离区 此时 58 处于饱和区和完全本征激发之间时称为过渡区 4 过渡区 此时 本征激发相对杂质电离所提供的电子不能再忽略 59 如何求EF 过渡区载流子浓度解如下联立方程 可以分情况讨论 ND和ni相对大小 60 T n0 ND p0 ND电中性条件 n0 p0杂质浓度越高 达到本征激发起主要作用的温度也越高 n型硅中电子浓度与温度关系 低温弱电离 施主杂质电离产生导带电子 T增加 费米能级从施主能级以上下降到以下 ED EF k0T 饱和区 T增加 本征激发作用加强 过渡区 EF下降 电子由杂质电离和本征激发共同作用 T增加 本征激发作用为主 EF下降到禁带中线 载流子浓度急剧上升 5 高温本征激发区 61 6 p型半导体的载流子浓度 作业 低温弱电离区 强电离 饱和区 过渡区 高温本征激发区 同前 62 硅的费米能级与温度及杂质浓度的关系 63 讨论 杂质半导体的载流子浓度和费米能级由温度和杂质浓度所决定 与本征区别 对于杂质浓度一定的半导体 随着温度的升高 载流子则是从以杂质电离为主要来源过渡到以本征激发为主要来源的过程 EF从杂质能级附近 禁带中线处 温度一定时 费米能级的位置由杂质的种类和浓度决定 费米能级的位置反映导电类型和掺杂水平 64 不同掺杂情况下的费米能级 电子填充水平最低 EF最低 65 过渡区导带电子来源于全部杂质电离和部分本征激发 强电离 饱和 导带电子浓度等于施主浓度 高温本征激发区n0 NDp0 ND 同上 中间电离导带电子从施主电离产生 p0 0n0 弱电离导带电子从施主电离产生 费米能级 载流子浓度 电中性 特征 66 思考题 指出所示曲线不同的区域特征 思考题 估算一下室温时硅中施主杂质达到全部电离时 90 的杂质浓度上限 思考题 杂质基本上全部电离 90 所需的温度 67 思路 强电离区全部电离 代入EF 未电离取10 68 少数载流子 n型半导体中的空穴 p型半导体中的电子少数载流子浓度 强电离区为例 知少数载流子浓度随温度迅速变化 69 少数载流子与温度的关系 70 3 5一般情况下载流子统计分布 一般情况的电中性条件同时含一种施主杂质和一种受主杂质同时含若干种施主杂志和若干种受主杂质 71 同样可以按如下温区进行讨论 低温弱电离区 部分电离区 强电离区 非本征区 过渡区 高温本征区 下面讨论ND NA的半导体情况 72 ND NA情况 含少量受主杂质的n型半导体 杂质弱电离情况下 ND NA 则受主完全电离 pA 0由于本征激发可以忽略 则电中性条件为 则有 施主杂质未完全电离情况下载流子浓度的普遍公式 73 讨论 极低温区电离情况 假定ND NA 在极低的温度下 电离施主提供的电子 除了填满NA个受主以外 激发到导带的电子只是极少数 即n0 NA 于是有 将其代入电子浓度公式中 得出费米能级EF为 在这种情况下 当温度趋向于0K时 EF与ED重合 在极低的温度范围内 随着温度的升高 费米能级线性地上升 74 这种情况与只含一种施主杂质ND时一致 这种条件下 施主主要是向导带提供电子 少量受主的作用可以忽略 此时费米能级也在施主能级ED之上变化 当温度继续上升 进入NA N c ND的温度范围内 3 85 式简化为 此时的费米能级的为 75 杂质饱和电离情况 当温度升高使施主全部电离 所提供的ND个电子 除了填满NA个受主外 其余全部激发到导带 半导体进入饱和电离区 强电离区 本征激发可忽略 电中性条件 费米能级在ED之下 由n0p0 ni2得出空穴浓度 在杂质饱和电离区 有补偿的N型半导体的载流子浓度和费米能级公式 同只含一种施主杂质的N型半导体对应的公式具有相同的形式 但用有效施主浓度ND NA代替了ND 76 过渡区 杂质饱和电离 本征激发 当温度继续升高 是本征激发也成为载流子的重要来源时 半导体进入了过渡区 电中性条件为 将上式与联立 得到电子和空穴浓度为 该形式与一种杂质半导体的过渡区载流子浓度公式相似 只不过把ND换为有效杂质浓度ND NA而已 77 此时的费米能级为 EF在施主能级ED之下 随着温度升高不断向Ei靠近 高温本征激发区 本征区 当温度很高时 本征激发成为产生载流子的主要来源 半导体进入本征区 此时费米能级EF Ei 载流子浓度为 78 小结 求解热平衡半导体载流子浓度的思路 一 对只含一种杂质的半导体 首先判断半导体所处的温度区域 四个 杂质弱电离区 饱和电离区 过渡区 本征区 写出电中性条件 利用该温度区域的载流子浓度计算公式求解 二 含多种 不同 杂质的半导体 首先判断材料的导电类型及有效杂质浓度 判断半导体所处的温度区域 四个 杂质弱电离区 饱和电离区 过渡区 本征区 写出电中性条件 利用该温度区域的载流子浓度计算公式求解 79 3 6简并半导体 1 简并半导体 费米能级进入导带 或价带 的情况 重掺杂条件下 一般情况下 ND Nc或者 ND NA Nc EF在Ec下在ND Nc时 EF与Ec重合或在之上 进入导带 N型半导体处于饱和区 80 说明n型掺杂水平高 导带底附近的量子态基本上已被电子占据 导带中电子数目很多 f E 1不满足玻耳兹曼分布不成立 考虑泡利不相容原理的作用 不能用玻耳兹曼分布 必须用费米分布 载流子的简并化 同理可以讨论价带 81 2 简并半导体载流子浓度 求解简并半导体的载流子浓度的思路和前面非简并半导体中载流子浓度的求解一样 导带电子浓度 引入无量纲的变数 和简约费米能级 再利用Nc的表达式 导带电子浓度为 82 同理可得 价带空穴浓度 在非简并情况下 费米能级位于离开带边较远的禁带中 即 则 其中的称为费米积分 83 费米积分 Ec EF时 n0值已有显著差别 3 简并化条件 84 以EF与Ec的相对位置区分 并作为简并化与非简并化的条件 对P型半导体则以EF与EV的相对位置作为简并化条件 当温度一定时 根据给定的简并化条件 可以计算半导体达到简并化时对掺杂浓度的要求 当掺杂浓度超过一定数量时 载流子开始简并化的现象称为重掺杂 85 以含一种施主杂质的n型半导体为例 讨论杂质浓度为多少时发生简并 86 讨论简并 ND必定是接近或者大于Nc 非简并ND Nc 发生简并时的ND与 ED有关 ED 则杂质浓度较小时就会发生简并 将代入上式 可知对一定 ED和ND T有2个解T1 T2 杂质浓度越大 发生简并的温度范围越宽 即发生简并化有一个温度范围 87 导带 价带 禁带中载流子的统计分布 88 低温载流子冻析效应对含有杂质的半导体 当温度低于某一温度时 杂质只有部分电离 尚有部分载流子被冻析在杂质能级上 对导电没有贡献 这种现象成为低温载流子冻析效应 当半导体中掺杂浓度较高时 低温下半导体可以处于简并状态 3 6 3低温载流子冻析效应 89 简并半导体的杂质能级 简并半导体是重掺杂 单位体积内杂质原子数很多 距离很近 相邻杂质原子上的电子波函数将发生显著重迭 束缚在杂质原子上的电子就可能在它们之间转移 使孤立的杂质能级扩展为杂质能带 3 6 3禁带变窄效应 90 杂质能带产生的影响 杂质能带 简并半导体中杂质能级示意图 杂质能带出现使 当杂质浓度很高时 杂质能带与导带相连当杂质能带与导带底相连时 形成新的简并导带 它的尾部伸入到禁带中 结果使简并半导体的 禁带变窄效应 91 简并半导体在重掺杂时的禁带变窄效应 E g E 导带 价带 Eg 施主能级 非简并半导体 简并半导体 E g E 导带 价带 Eg 施主能级 Eg 92 半导体处于怎样的状态才能叫处于热平衡状态 其物理意义如何 载流子激发和载流子复合之间建立起动态平衡时称为热平衡状态 这时电子和空穴的浓度都保持一个稳定的数值 处在这中状态下的导电电子和空穴称为热平衡载流子 2 什么是能量状态密度能带中能量E附近每单位能量间隔内的量子态数 3 什么叫统计分布函数 费米分布和玻耳兹曼分布的函数形式有何区别 在怎样的条件下前者可以过渡到后者 为什么半导体中载流子分布可以用玻耳兹曼分布描述 统计分布函数描述的事热平衡状态下电子在允许的量子态如何分布的一个统计分布函数 当E EF kT时 前者可以过渡到后者 第三章典型习题 93 4 对于某n型半导体 试证明其费米能级在其本征半导体的费米能级之上 即EFn EFi 证明 设nn为n型半导体的电子浓度 ni为本征半导体的电子浓度 显然nn ni 得证 94 5 试分别定性定量说明 在一定的温度下 对本征材料而言 材料的禁带宽度越窄 载流子浓度越高 2 对一定的材料 当掺杂浓度一定时 温度越高 载流子浓度越高 证明 1 在一定的温度下 对本征材料而言 材料的禁带宽度越窄 则价带电子跃迁至导带所需的能量越小 所以受激发的载流子浓度随着禁带宽度的变窄而增加 由公式 也可知道 温度不变而减少本征材料的禁带宽度 上式中的指数项将因此而增加 从而使得载流子浓度因此而增加 2 对一定的材料 当掺杂浓度一定时 温度越高 受激发的载流子将因此而增加 由公式可知 这时两式中的指数项将因此而增加 从而导致载流子浓度增加 95 6 假设Si半导体中N型杂质的掺杂浓度为Nd P型杂质的掺杂浓度为Na 请写出该半导体的电中性条件表达式 如果Nd Na 写出在热平衡和完