计量经济学第二章.ppt

第二章一元线性回归模型 LOGO 基础知识复习 1 期望 均值 对于离散变量X 期望的性质 1 E c c 2 E X c E X c 3 E a X a E X 4 E k X b k E X b 5 E X Y E X E Y 6 E X Y E X E Y 如果X Y独立 概率论 LOGO 2 条件期望 条件均值 3 离差 如果变量X的期望E X 存在 则定义X E X 为X的离差 4 方差 随机变量X离差平方和的期望 成为X的方差 记为D X 或Var X 此外 称为X的标准差 LOGO 方差的性质 1 D c 0 2 D X c D X 3 D a X a2 D X 4 D X Y D X D Y 如果X Y独立 5 协方差 LOGO 6 相关系数相关系数的特点 1 取值在 1 1 之间 2 r 0时 X Y没有线性相关关系 3 当00时 X Y正相关 r 0时 X Y负相关 4 当 r 1时 证明X Y间完全线性相关 r 1 X Y完全正相关 r 1 X Y完全负相关 LOGO 7 分布的概念 LOGO 1 普查和抽样调查2 总体 统计总体是根据一定的目的和要求所确定的研究事物的全体 它是由客观存在的 具有某种共同性质的许多个别单位构成的整体 3 样本 总体中的一部分单位 即被抽取出来的那部分个体单位 4 估计 根据样本提供的信息对总体的某些特征 如均值 方差等 进行估计或推断 统计学 LOGO 求 当x y为多少时 F f x y 最小或最大 解 将F分别对x y求一阶偏导 并令其等于0 由此便可解出x y 微积分 LOGO 矩阵矩阵的转置矩阵的逆矩阵的秩 线性代数 LOGO 2 1回归分析概述一 回归分析的基本概念1 变量间的相互关系确定性的函数关系不确定性的统计相关关系如 圆的面积与半径的关系 S r2 正方形的面积与边长的关系 S a2粮食产量Y与施肥量X的关系 人们收入X和支出Y的关系 LOGO 在函数关系中 给定一个X 只有一个确定的Y与之对应 因此X Y都是确定性变量 在相关关系中 给定一个X 有多个Y与之相对应 因此当给定的X为确定性变量时 Y是一个不确定的变量 称为随机变量 LOGO 2 相关分析和回归分析 1 相关分析 研究随机变量间的相关形式和相关程度 变量间的相关程度用相关系数来衡量 变量X Y间的总体相关系数为 统计相关关系的分析手段有两种 相关分析和回归分析 LOGO 如果给出X Y的一组样本 xi yi i 1 n 则样本相关系数为 LOGO 如果变量间存在因果关系 我们则可以通过回归分析来研究它们的具体依存关系 2 回归分析研究一个变量 被解释变量 或称 因变量 关于另一个 一些 变量 解释变量 或称 自变量 的依赖关系的计算方法和理论 其目的在于 已知或给定解释变量的值 来估计被解释变量的 总体 均值 LOGO 联系 都是研究非确定性变量间的统计相关关系 并能度量线性依赖程度的大小 区别 相关分析中变量间的关系是对称的 并且变量都是随机的 回归分析中变量存在因果关系 并且解释变量是确定的 相关分析只关注相关系数 不考虑依赖关系 回归分析则采用多种数学手段来分析变量间具体的依赖关系 弹性 乘数等 3 相关分析和回归分析的联系与区别 LOGO 下列经济变量之间可以采用回归分析的有 A财政支出和财政收入B家庭消费支出和收入C货币需求和利率D农作物产值和农作物种植面积E商品销售额与销售量 销售价格 LOGO 例2 1 我们想要研究某市居民每月家庭消费支出Y与每月家庭收入X的关系 假设该市共有99个家庭 则这99个家庭就构成了一个总体 通过调查 得到每户家庭的消费支出和收入的数据如下表所示 二 总体回归函数 LOGO LOGO 由于不确定性因素的影响 对同一个收入X而言 不同家庭的支出Y不完全相同 因此Y不确定 是随机变量 但是我们知道Y的分布情况 即已知 以给定X为条件的Y的条件分布 如 故而 给定收入X 可得支出Y的条件均值 条件期望 如 LOGO LOGO 每月可支配收入 每月消费支出的条件均值 总体回归曲线 LOGO 定义 在给定解释变量Xi条件下 被解释变量Yi的期望 均值 轨迹称为总体回归线 或总体回归曲线 相应的函数 2 1 3 称为总体回归函数 PRF 总体回归函数表明被解释变量Yi的平均状态 总体条件期望 随解释变量Xi的变化规律 LOGO 我们可以把总体回归函数简化为线性的形式 2 1 4 其中 是未知的参数 称为回归系数 2 1 4 也称为线性总体回归函数 LOGO 所以 对于每一个具体的家庭 记 2 1 5 称为观察值Yi围绕它的期望值的离差 它是一个不可观测的随机变量 又称为随机干扰项 总体回归函数表明被解释变量Yi的平均状态随解释变量Xi的变化规律 那么 对于某一个具体的家庭来说 它的消费支出Yi就恰好等于给定收入水平Xi下的消费支出的平均值吗 LOGO 移项 2 1 6 按照 2 1 4 简化为线性 2 1 7 即给定收入Xi 个别家庭的消费支出可以表示为两部分的和 1 该收入水平下所有家庭的平均消费支出称为系统性 确定性 部分 2 其他非系统性 随机 部分 式 2 1 6 2 1 7 引入了 成为计量经济学模型 因此也称为总体回归模型 LOGO 在总体回归函数中引入随机干扰项的原因 1 代表未知的影响因素 2 代表残缺的数据 3 代表众多细小的影响因素 4 代表数据观测误差 5 代表模型设定误差 6 变量的内在随机性 LOGO 三 样本回归函数 总体数据未知 总体回归函数未知 样本数据 信息 样本回归函数 估计总体回归函数 LOGO 每月可支配收入 每月消费支出 样本回归曲线 LOGO 由样本散点图可以得到样本回归曲线 其函数形式记为 2 1 8 2 1 8 称为样本回归函数 SRF 同样地 样本回归函数的随机形式 2 1 9 其中 是 样本 残差项 代表了其他影响Yi的随机因素的集合 可以看作是 2 1 9 称为样本回归模型 LOGO 回归分析的目的 样本回归函数 总体回归函数 类似于 点估计 的思想 我们要通过构造样本回归函数 使样本回归函数尽可能地接近总体回归函数 从而近似地替代总体回归函数 来解释变量间总体的关系 LOGO 2 2一元线性回归模型的参数估计 最经典的计量经济学模型一 一元线性回归模型的基本假设这些基本假设是针对普通最小二乘法 OLS 而言的 如果这些假设不能满足 则OLS失效 基本假设包括对解释变量和随机干扰项的假设 LOGO 假设1 模型设定正确假设2 解释变量Xi是确定性变量 不是随机变量 假设3 解释变量在样本中具有变异性 但样本方差趋于收敛假设4 随机干扰项具有零均值 同方差及不序列相关性 假设5 随机干扰项与解释变量间不相关 假设6 随机干扰项服从零均值 同方差 零协方差的正态分布 在实际建模过程中 2 4 5都需要检验 LOGO 二 参数的普通最小二乘估计 LOGO 通过引入X Y的离差 可以得到OLS估计量的离差形式 LOGO 估计值 如果参数估计结果是由具体的样本资料计算出来的 则是 估计值 是参数估计量的一个具体数值 估计量 如果把计算公式仅仅看作是的表达式 由于Yi是随机变量 所以也是随机变量 称之为 估计量 LOGO 三 最小二乘估计量的性质 判断一个用于考察总体的估计量的好坏 可以从以下几个方面考虑 线性性 它是否是另一随机变量的线性函数 无偏性 它的均值或期望是否等于总体的真值 有效性 最小方差性 它是否在所有线性无偏估计中具有最小方差 这三个准则也称作估计量的 小样本性质 拥有这类性质的估计量称为 最佳线性无偏估计量 LOGO 1 线性性 LOGO 2 无偏性 LOGO 3 有效性 最小方差性 LOGO LOGO 可以看出 普通最小二乘法得到的估计量具有线性性 无偏性 有效性等优良性质 因此是最佳线性无偏估计量 LOGO 2 3一元线性回归模型的统计检验 回归分析的目的 样本回归函数 总体回归函数由估计量 无偏性 可知 若有足够多的重复抽样 则 LOGO 在具体的某一次抽样中 参数的估计值与真实值之间差异有多大 是否显著不为0 变量是否显著 需要进一步的统计检验 拟和优度检验变量显著性检验参数检验的置信区间估计 LOGO 一 拟和优度检验含义 检验模型对样本观察值的拟和程度思路 1 构造一个表示拟和程度的指标 统计量 该统计量是关于样本的函数 2 利用样本数据计算出该统计量的值 3 将统计量的值和某一标准相比较 得出检验结论 LOGO LOGO x Y 总离差平方和TSS 回归平方和ESS 残差平方和RSS LOGO LOGO 由上式可以看出 Y的观察值围绕其均值的 总离差平方和 TSS可以分解为两部分 来自样本回归线的 回归平方和 ESS来自随机势力的 残差平方和 RSS因此 可以用 回归平方和 占 总离差平方和 的比例来反映样本回归线与样本观察值的拟和程度 LOGO 为什么不直接用 残差平方和 RSS来作为拟和优度检验的统计量 一方面 作为检验统计量一般应为相对量 而不是绝对量 无法设置评判标准 另一方面 残差平方和 与样本容量n相关 n较小时 RSS也较小 因此无法客观判断模型的拟和程度 LOGO LOGO LOGO 二 变量显著性检验 含义 检验模型中被解释变量和解释变量的线性关系是否显著成立 或者说考察所选择的解释变量是否对被解释变量有显著的线性影响 实质 检验变量X是否显著 即检验模型参数是否显著为0 方法 数量统计中假设检验的思想 LOGO 1 假设检验程序 1 根据要求提出一个论断 统计假设 记为H0 原假设 2 根据样本信息判断H0的真伪 3 作出拒绝H0或者接受H0的决策 LOGO 基本思想 反证法 为了检验原假设H0是否正确 先 假设H0是正确 的 根据样本信息进行推理 如果推出不合理的结果 则证明 假设H0是正确 是错误的 即原假设H0不正确 这时就要拒绝原假设H0 如果没有推出不合理的结果 则不能认为原假设H0不正确 这时就无法拒绝原假设H0 LOGO 小概率事件原理 小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的 1 设定原假设H0 并 假设H0正确 2 构造一个事件 该事件在 假设H0正确 的前提下是一个小概率事件 构造统计量的过程 3 根据该事件发生了 则 假设H0正确 是错误的 因而应该拒绝原假设H0 反之 该事件没有发生 则 假设H0正确 是正确的 因而应不拒绝原假设H0 LOGO 2 变量的显著性检验 t检验 LOGO 具体步骤 1 提出原假设 2 假定 原假设H0 正确 3 构造小概率事件 给定一个显著性水平a 查t分布表 得到一个临界值 则为原假设H0下得一个小概率事件 4 参数估计后 计算t1的值 查表得的值 5 如果发生 则在1 a的置信度水平下拒绝原假设 即变量X是显著的 通过了变量显著性检验 如果发生 则在1 a的置信度水平下接受原假设 即变量X是不显著的 未通过变量显著性检验 LOGO LOGO 具体步骤 1 提出原假设 2 假定 原假设H0 正确 2 构造小概率事件 给定一个显著性水平a 查t分布表 得到一个临界值 则为原假设H0下得一个小概率事件 3 参数估计后 计算t0的值 查表得的值 4 如果 则在1 a的置信度水平下拒绝原假设 即截距项显著不为0 如果 则表明在1 a的置信度水平下无法拒绝截距项显著为0的原假设 LOGO 参数显著性检验练习 建立一元线性计量模型来研究计算机价格与其供给量之间的关系 利用1988 2008年的样本数据估计模型后 得到具体的结果如下 在0 05的显著性水平下 对的显著性做t检验 LOGO 三 参数的置信区间 含义 为了判断样本参数的估计值在多大程度上接近总体参数的真实值 需要构造一个以样本参数的估计值为中心的 区间 来考察该区间以多大的可能性 概率 包含真实的参数值 LOGO 思路 LOGO LOGO 如何缩小置信区间 1 扩大样本容量n n增加会使标准差和t分布表里的临界值减小 从而缩小置信区间 2 提高模型的拟和优度 拟和优度越高 残差平方和应越小 标准差也就越小 置信区间也就越小 LOGO 根据参数估计的结果 在显著性水平为0 01的条件下 试计算参数 0 1的置信区间 LOGO 2 4一元线性回归中的预测问题 一元线性回归模型 参数估计 检验 预测预测 点预测和区间预测点预测 将样本观察值以外的数据带入一元线性回归方程中 得到预测值 LOGO 实例2 中国居民人均消费模型已知1978 2000年人均居民消费支出 CONSP 和人均GDP GDPP 的时间序列数据 以1990年为基期剔除价格因素的影响 处理后的数据见表2 5 1 1 建立一元线性回归模型 2 参数估计 Eviews LOGO LOGO LOGO LOGO LOGO LOGO LOGO 3 检验经济意义检验 统计检验 4 预测将2001年的gdpp数值4033 1元带入回归方程进行点预测 LOGO 本章要点 OLS估计的基本假设及基本思路 怎样理解OLS估计的最优性 R2检验 t检验 参数区间估计的意义 LOGO 综合练习 对于人均存款与人均收入之间的关系式利用美国36年的年度数据估计模型后 得到的结果如下 1 模型参数的经济意义是什么 参数能否通过经济意义检验 2 对于拟合优度你有什么看法 3 在0 05的显著性水平下 能否通过显著性检验 LOGO 1 将 总离差平方和 回归平方和 残差平方和 分别用TSS ESS和RSS来表示 则可决系数R2等于 ESS RSSB ESS TSSC RSS TSSD RSS ESS2 下列说法正确的是 A 如果模型的R2值很高 我们可以认为此模型的质量较好B 如果模型的R2值较低 我们可以认为此模型的质量较差C 拟和优度高的模型一定比拟和优度低的模型好 应用的领域更为广泛D 在实际应用中 不必对可决系数过分苛求 重要的是考察模型的经济关系是否合理 CH2综合练习 LOGO 3 下列经济变量之间可以采用回归分析的有 A GDP与消费 投资 政府购买 净出口B 出口与进口 汇率 固定资产投资C 工资与受教育年限 性别D GDP与三大产业的价值增值E 失业率与劳动适龄人口 固定资产投资 LOGO 4 令kids表示一名妇女生育孩子的数目 educ表示该妇女接受过教育的年数 生育率对