2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.1任意角和弧度制5.1.1任意角教学案新人教A版.docx

5.1.1任意角(教师独具内容)课程标准：了解任意角的概念、理解象限角、终边相同角的概念并会用集合符号表示这些角教学重点：理解正角、负角、零角、相反角、象限角的概念，掌握终边相同角的表示方法教学难点：用集合符号表示终边相同的角【知识导学】知识点一角的相关概念(1)角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的表示：如图，OA是角的始边，OB是角的终边，O是角的顶点角可记为“角”或“”或简记为“”(3)按照角的旋转方向可将角分为如下三类：知识点二相反角如图，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角角的相反角记为.知识点三象限角(1)若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角(2)若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限知识点四终边相同的角设表示任意角，所有与角终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为|k360，kZ【新知拓展】对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)kZ，即k为整数，这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点()(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角()(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的()答案(1)(2)(3) 2做一做(1)与600角终边相同的角可表示为()Ak360220(kZ)Bk360240(kZ)Ck36060(kZ)Dk360260(kZ)(2)若角与角终边相同，则_.答案(1)B(2)k360，kZ题型一 正确理解角的概念例1下列命题正确的是()A终边与始边重合的角是零角B终边和始边都相同的两个角一定相等C在90180范围内的角不一定是钝角D小于90的角是锐角解析终边与始边重合的角还可能是360，720，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360的整数倍，如30与330，B错误；由于在90180范围内的角包含90角，所以不一定是钝角，C正确；小于90的角可以是0，也可以是负角，D错误故选C答案C金版点睛理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了()A60B60 C30D30(2)射线OA绕端点O顺时针旋转90到OB位置，接着逆时针旋转100到OC位置，然后再顺时针旋转240到OD位置，求AOD的大小答案(1)B(2)见解析解析(1)钟表的时针旋转一周是360，其中每小时旋转30，所以经过2个小时应旋转60.故选B(2)如图，AOB90，BOC100，COD360240120，AODBOCAOBCOD10090120130.题型二 终边相同的角的表示例2(1)写出与1910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来；(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合解(1)与角1910终边相同的角的集合为|1910k360，kZ720360，7201910k360360，3k6.故k4,5,6，k4时，19104360470，k5时，19105360110，k6时，19106360250.(2)|k180，kZ|135k180，kZ变式探究在与角1030终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最小的正角；(2)最大的负角解10303602310，所以10302360310，所以与角1030终边相同的角的集合为|k360310，kZ(1)所求的最小正角为310.(2)取k1得所求的最大负角为50.金版点睛在0360范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)把任意角化为k360(kZ且0360)的形式，关键是确定k.可以用观察法(的绝对值较小)，也可用除法(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值已知990630，且与120角的终边相同，则_.答案960解析与120角终边相同，故有k360120，kZ.又990k360120630，即1110k360750，解得3k2，又kZ，故k3，(3)360120960.题型三 象限角的判定例3(1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角75；855；510；(2)若是第二象限角，则2，分别是第几象限的角？解(1)作出各角，其对应的终边如图所示：由图a可知：75是第四象限角由图b可知：855是第二象限角由图c可知：510是第三象限角(2)是第二象限角，90k360180k360(kZ)，180k7202360k720(kZ)，2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上是第二象限角，90k360180k360(kZ)，45k18090k180(kZ)解法一：A当k2n(nZ)时，45n36090n360(nZ)，即是第一象限角；b当k2n1(nZ)时，225n360270n360(nZ)，即是第三象限角故是第一或第三象限角解法二：45k180表示终边为一、三象限角平分线的角，90k180(kZ)表示终边为y轴的角，45k18090k180(kZ)表示如图中阴影部分图形即是第一或第三象限角金版点睛象限角的判定方法(1)根据图象判定依据是终边相同的角的概念，因为0360之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系(2)将角转化到0360范围内在直角坐标平面内，在0360范围内没有两个角终边是相同的(3)n所在象限的判断方法确定n终边所在的象限，先求出n的范围，再直接转化为终边相同的角即可(4)所在象限的判断方法已知角所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；被n除余n1.从而得出结论作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出(1)若为第三象限角，试判断90的终边所在的象限；(2)若为第四象限角，试判断的终边所在的象限解(1)因为为第三象限角，所以180k360270k360，kZ，则180k3609090k360，kZ，所以90的终边在第三象限(2)由于为第四象限角，即(k36090，k360)(kZ)，所以(k18045，k180)(kZ)当k2n，nZ时，(n36045，n360)(nZ)，是第四象限角；当k2n1，nZ时，(n360135，n360180)(nZ)，是第二象限角综上，可知的终边所在的象限是第二或第四象限题型四 区域角的表示例4写出终边落在阴影部分的角的集合解设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ角的集合应当是集合与的并集：|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ|2k180302k180105，kZ|(2k1)18030(2k1)180105，kZ|2k180302k180105或(2k1)18030(2k1)180105，kZ|k18030k180105，kZ条件探究将本例改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)解(1)|45k36090k360，kZ|225k360270k360，kZ|45k18090k180，kZ(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得|150k360150k360，kZ金版点睛区域角的写法可分三步(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，写出所有与，终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合解(1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得|k 360135k360300，kZ(2)|k36060k36045，kZ|k360120k360225，kZ|k18060k18045，kZ1215是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案B解析215360145，而145是第二象限角，215是第二象限角，故选B2下列说法正确的是()A终边相同的角一定相等B钝角一定是第二象限角C第一象限角一定不是负角D小于90的角都是锐角答案B解析因30和390的终边相同，但两个角不相等，故A项错误；钝角一定是第二象限角，故B项正确；因280是第一象限角，但此角为负角，故C项错误；因60是小于90的角，但它不是锐角，故D项错误综上，选B3如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是_度，分针所转成的角度是_度答案560解析将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了105，所转成的角度是5；分针按顺时针方向转了1060，所转成的角度是60