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中学数学教学中的美育吕国昌摘 要 本文通过大量事实例证，阐述了数学美的特征：简洁美、对称美、统一美、奇异美，以期引起同行的重视，在教学中多挖掘。教学是一门科学，又是一门艺术，中学数学教学中的数学美是丰富多彩的，但数学美的诸方面应是互相结合的。只要在教学中努力挖掘数学美的特征，经常有意识地进行这方面的教育，辛勤耕耘，必能结出丰硕的成果。关键词 中学 美育 简洁美 对称美 统一美 奇异美长期以来，我们一度强调德育和智育，在中学数学教学中，人们只重视基础知识和基本技能的传授与训练，忽视了审美教育的作用。不善于发掘数学本身所特有的美，不注意用数学美来感染诱发学生的求知欲望，激发他们的学习兴趣；不重视引导学生发现数学美，鉴赏数学美，更谈不上引导学生创造数学美，致使一些学生感到数学抽象枯燥，失去学习数学的信心。其实，学校实施美育是素质教育的要求，是贯彻教育方针的要求。而数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它的高度的抽象性、精确性以及应用的广泛性是这门课的特点。数学更是一门诱人的科学，人类的数学史就是一部辉煌的人类文明史。从数学史中挖掘数学家的美学思想，从数学的理论和实践的具体应用中感受它的美之所在。况且，中学数学教学中包含着丰富而深刻的美育内容，对于学生理解数学知识的来龙去脉，提高数学学习的兴趣，掌握学习规律，发挥数学学科在学生德育、智育、美育中的教育作用，促进学生思维的全面发展，提高学生素质，都有重要的现实和实际意义。这正如法国著名数学家彭加勒（Poincare，18541912年）所说：“感觉数学的美，感觉数与形的调和，感觉几何学的优雅，这是真正的数学家都知道的真正的美感”，“数学的本质是美的，数学中的美那就是各个部分之间的和谐、对称，恰到好处的平衡,一句话，那就是秩序井然，统一协调1。所以，在中学数学教学中，充分展示数学美的特征，不仅可以使学生加深对数学知识的理解，同时也可以使学生获得美的感受，并激发他们学习数学的兴趣，改善他们的思维品质。由此看来，通过中学数学教学对学生进行美育是义不容辞的。那么什么是数学美，在教学中，如何发挥数学的美育功能呢？本文拟就这个问题作初步探讨。数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。数学美即是蕴藏于它所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法之中的简洁、对称、统一、奇异等形式，它是数学创造的自由形式，它揭示了规律性，是一种科学的真实美。数学中美的因素是多方面的、具体的、意义深刻的，其主要表现在以下四方面： 一、简洁美简洁性是美的特征，也是数学美的基本内容。数学的简洁美具有形式简洁、秩序、规整和高度统一的特点，还具有数学规律的普遍性和应用的广泛性。数学家们常以简洁美作为自己的追求目标，德国著名数学家高斯（Gauss，17771855年）说：“去寻求一种最美最简洁的证明，乃是吸引我去研究的动力。”科学巨星爱因斯坦（Einstein，18791955年）也曾说：“美在本质上终究是简单性。”2 他认为,只有借助数学,才能达到简单性的美学准则。简洁给人以美感，而数学的简洁美要求人们在学习数学的过程中，把握事物的主要矛盾，把握事物内部最简单最基本的关系，不纠缠于事物的表面现象，能有意识地从本质上和整体上看问题，克服和减少思维片面性和绝对化。中学数学教学中的简洁美主要表现在数学符号、数学技巧乃至逻辑方法上，例如，符号na表示a+a+a（n个）；符号a n表示aaa（n个）；符号n！表示 12n；符号表示a1+a2+an等都是以简洁的外形表示了复杂的内容，给人以美的享受，同样数学符号f(x)，|a|无一不显示出简洁的美，还有科学记数法是一种简记数的方式。瑞士数学家欧拉(Euler，17071783年)给出的公式：V-E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不一？由它还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面数的点数V、边数E、区域数F满足V-E+F=2，这个公式成了近代数学两个重要分支拓扑学与图论的基本公式。再如在椭圆标准方程的推导过程中，由椭圆定义可推得+2a,它能否作为椭圆的方程呢？完全可以，但它不符合数学简单美的特征。为此，将上述方程适当变形整理，化为(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),与前相比，方程变得简单了，但还感到有些美中不足，由于椭圆具有对称性，反映出和谐美的特征，那么它的方程在结构上也应具有对称性，给人以美感。为此，令b2=a2-c2，最终使方程化为+=1,这个方程具有数学美的特征，称为椭圆的“标准”方程当之无愧。引进字母“b”纯粹是为了追求方程的对称美，但后来发现a、b正好分别是椭圆的长、短半轴的长，字母“b”含有了鲜明的几何意义，人的内心世界感到美的东西，在外部世界得到了印证。这正体现了“美”与“真”之间微妙的统一性。正如伟大的希尔伯特（Hilbert，德国数学家，18621943年）曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。教师在教学中抓住时机，逐渐渗透数学简洁美的特征，能够促进学生思维的灵活性与深刻性的发展，同时，也能让学生在美的感受中焕发出求知的欲望。 二、对称美 对称美是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性，给人以美的感受。毕达哥拉斯（Pythagoras，前572492年）认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。” 3 其原因可能是基于球形、圆形体现了现实空间的对称性、均匀性。在中学数学教学中，到处都可以找到对称美的例证。例如，平行四边形、等腰三角形、等腰梯形、矩形、圆形和球形关于直线的轴对称或关于点的中心对称；杨辉三角左右数字对称；函数图象与其反函数的图象关于直线y=x对称；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数图象关于原点对称；余弦定理中三角形各边、各角的轮换对称性；对称多项式的因式分解就具有对称的形式和方法；相反数也体现出了类似几何中的中心对称。再如，正与负、通分与约分、常量与变量、加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、微分与积分等这种正反两方面的关系也体现了数学的对称美。人们还发现，周长一定时，图形的面积大小和它的对称性之间有着十分奇妙的关系：具有对称性的图形面积占有最大值。梯形的面积公式：s=，等差数列的前n项和公式：Sn=，其中a是上底边长，b是下底边长，其中a1首项，an是第n项，这两个等式中，a与a1是对称的，b与an是对称的，h与n是对称的。对称不仅美，而且有用。在中学数学教学中，教师应挖掘数学对称美的特征，要让学生树立对称美意识，还要让学生领略这种对称美，教会学生从对立的双方去思考问题，在思维方向的选择上，既会顺向，又会逆向，灵活运用。这对学生掌握数学思想方法和训练思维灵活性，消除思维定势的影响，提高分析问题解决问题的能力，会起到重要作用。 三、统一美 统一美也叫和谐性，是指部分和部分、部分和整体之间的内在联系或共同规律体现出来的和谐一致。希尔伯特说：“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是由于各个部分之间的联系，尽管数学知识千差万别，我们仍然清楚地意识到：在作为整体的数学中，使用着相同的逻辑工具，存在着概念间的亲缘关系。同时，在它的不同部分之间，也有大量相似之处。我们还注意到，数学理论越是向前发展，它的结构就变得更加协调一致，并且，这门科学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系。”他又说：“数学的有机统一，是这门科学固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础。” 4 当然，希尔伯特所说的数学的统一美，是数学最本质的特征，也是在较高观点之下数学发展追求的目标。在中学数学中，数学的统一美尚不能反映得如此深刻，如此广泛，但是深入研究这些数学内容，还是可以找到例证的。例如，对于数的概念的认识就是一个逐步统一的过程。小学里学习了自然数、零、分数（小数），可以统一为非负有理数；初中学习了负有理数，连同小学里的非负有理数又统一为有理数；以后随着无理数的引进，连同有理数又统一为实数；高中学习了虚数，连同实数又统一为复数。在这期间，有理数的减法又可以统一为加法。那么，人们自然想到能否把复数的概念继续推广。英国数学家哈密顿（W.R.Hamilton）苦苦思索了15年，没能获得成功。后来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数，即形为a1+a2i+a3j+a4k(a1,a2i,a3j,a4k为实数)的数，其中i、j、k如同复数中的虚数单位。若a3=a4=0,则了四元数a1+a2i+a3j+a4k是一般的复数。四元数的研究推动了线性代数的研究，并在此基础上形成了线性结合代数理论。物理学家麦克斯韦利用四元数理论建立了电磁理论。欧拉发现的复数z=cos+isinei, 被人们认为是一个非常优美的公式。原因在于指数函数与三角函数在实数域中看不出有什么联系，而在复数域内却发现了它们之间的相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别有趣的是当=时，欧拉公式写成了ei+10，它把数学中最富有特色的五个数0、l、i、e、巧妙地联系在一起，获得了“最美的数学定理”称号；函数f(z)=x+yi在复平面内处处连续却处处不可导这一反例的构思多么绝妙！诸如此类，好似天工巧设，出神入化，给人一种奇异的美感。它除了给人以统一美的享受之外，难道在培养人的完善和谐个性方面不能多少起到一点潜移默化的作用吗？平面几何中相交弦定理、切割线定理、切线长定理可统一为圆幂定理；三角形三条高线共点、三条中线共点、三条内角平分线共点的特征，可统一于更一般的命题之中：ABC三边BC、CA、AB的三个分点L、M、N分别分割它们的比值是、，那么AL、BM、CN三线共点的充要条件是=1；解析几何就是用代数方法研究几何问题的，它可以说是代数与几何最完美的统一。再如学习了椭圆、双曲线、抛物线的性质以后，它们可以统一为圆锥曲线，其极坐标方程是=，当e1时表示双曲线；当e=1时，表示抛物线；当 e1时，表示椭圆。立体几何中的辛普松（Simpson，英国数学家，17101761年）公式V=h（b14b0b2）6，（其中v为体积，h为高，b1、b0、b2依次为上、下底面积和中截面的面积）把柱、锥、台和球的体积计算统一于一个式子之中。如果把b1、b0、b2依次看作上、下底边和中位线的长，又可把平行四边形、梯形、三角形的面积计算统一起来（此时辛普松公式的等号左面表示面积）。就拿二次函数y=a2（a0）来说，它概括、简炼、应用广泛，既可以描述自由落体的运动规律s=gt2,又可以表示物体的动能E=mv2；还可以计算圆的面积 S=r2，而通过二次函数的图象，既可以描绘小小乒乓球的运动路线，又可以刻划浩瀚宇宙中天体的运行轨道，这诸多事物中的数、形变化现律竟然统一于如此简单的一个数学式子之中，真称得上奇妙无比，美不胜收。再如，将等差数列通项公式an=a1+(n-1)d变形为an=dn+(a1-d)，可以看到，当d0时，an是关于n的一次式，若令y=an，x=n，k=d，b=a1-d，则可得直线方程 y=kxb，由此可见，以自然数集N为定义域的函数an=f(n)的图象应是直线 y=kxb上那些xN的点的集合，而这条直线的斜率k=d，在纵轴上的截距b=a1-d，这就是等差数列通项公式的几何意义，从这里可以看出，等差数列通项公式与直线方程形式具有统一性，这种统一美不但使学生获得了美感，而且对所学知识的理解得到了深化，很自然，在统一美的启示下，他们很容易将经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线的斜率公式 k=,用来解决由等差数列的两项ap，aq来求其公差d的问题，即d=，仿此，还可利用直线方程的有关公式、结论，简捷地去处理等差数列中不少问题。再如，众所周知的三角形、平行四边形、梯形的面积公式，形式多么简洁规整，应用又多么广泛普遍。在梯形的面积公式s=（ab）h（a为上底，b为下底，h为高）中，当a=0时变成三角形的面积公式；当a=b时，变成平形四边形的面积公式，这种既有区别又有联系、既对立又统一、从量变到质变的辩证方法在数学中处处可见,其思维方法引入深思。数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希尔伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法”。爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式E=mc2提示了自然界中的质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品。但他还是没有完成统一的梦想。人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远地追求。在中学数学教学中，教师应适当引导学生进行统一概括，使学生在头脑中建立“知识链”，形成知识网络，这样，不仅可以浓缩内容，而且能够提高思维概括性；使学生学会整理方法，体会并理解数学在各分支（代数、几何、三角等）间的统一美，并可以提高学生综合运用知识的能力，从而易于解决复杂问题。 四、奇异美 奇异美指数学中原有习惯、法则和统一格局被新的事物所突破或出乎意料、超乎想象的结果，所带来的新颖和奇特。在数学发展的历史上，许多新奇的数学思想方法，许多习惯思维无法接受的概念的提出，都显示了数学的奇异美。经过实践和漫长的历史考验，许多奇异变成了数学科学里的新天地。例如，把一张纸对折30次，这叠纸大概有多厚？学生可能想到至多不过几米，其实不然，它的厚度远远超过珠穆朗玛峰的高度，这显然是一个超出习惯认识的答案，为此我们计算：设一张纸的厚度为0.1毫米，则对折30次后的厚度为h=0.1230（毫米）,两边取对数得lgh=lg0.130lg2-1+300.3010=8.0300.由此可知，若以毫米为单位，h是一个九位数，若以米为单位，它就是一个六位数，所以，这样对折的结果其厚度就远远超过了珠穆朗玛峰的高度（8848米）！难道这个结果还不奇异，还不美吗？圆的周长和直径d的比总是一个不变的数，即=。这个数实在太令人惊奇了，世界上不管大圆、还是小圆，都摆脱不了它的约束。从古代的“周三径一”(=3)到现代用分析方法得出的精确值，人们花了几千年的时间研究它，因而，这个数渗透了整个数学。又如等腰直角三角形的直角边无法量尽斜边（其比值是），也就是说它们不包含公共的度量单位，这一惊人的发现对毕达哥拉斯学派“万物皆数” 的哲学是一次致命的打击，经过这一发现，希腊人乃至全世界的人们才不得不承认无理数的存在；而虚数的提出则又解决了二次方程 x2+1=0的根的问题；改变欧氏几何的第V公设，便提出了非欧几何等，这些都体现了数学的奇异美。 再如，古希腊，相传，毕达哥拉斯发现勾股定理时，“欢欣之情，不可言状，宰了100头牲畜来祭缪斯女神（神话中掌管文艺、科学的女神）以酬谢神的默示” 5。传说的真伪姑且不论，但就勾股定理本身而言，它把所有的直角三角形都统一于一个简洁美妙的式子a2+b2=c2之中，这确实令人惊奇，怪不得毕达哥拉斯那样高兴。谈数学奇异美，就不能不提到“0.618”这一数字。“0.618”在数学上称为黄金分割数。黄金分割是几何学的一颗灿烂的明珠,具有很高的美学价值，充满着统一美与和谐美，但它更具有奇异美：建筑物中某些线段的比等于0.618时，使人感到协调；人体躯干的宽与长的比接近于0.618时，就显得匀称；报幕员在报幕时，站在舞台的黄金分割点位置时,不显得呆板，声音的传播效果最好；教师在讲课时，站在黑板前黄金分割点处，显得大方得体；照相时，取主要景物为黄金分割点处，效果更好。按此比例把线段分割做成像框给人以协调的感觉；它可以把圆十等份，做成正十边形，连接对角线又可得到正五角星；另外，医学研究发现，人体内部存在着一个最佳耦合系数，其变动范围在0.6170.675之间摆动，正巧把黄金分割值0.618包括在内。人类意识活动的最佳状态的重要条件是脑心耦合机制，即心脑以心、脑最佳频率耦合的形式参与了思维。这些都并不是巧合，而缘于数学本身所具有的内在奇异美。再如，在讲授利用圆的内接多边形面积的极限来求圆面积时，结合我国魏晋时代数学家刘徽(公元三世纪)首创的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少；以至于不可割,则与圆合体而无所失矣。”这说明刘徽想到了事物的无限可分性，并认识到了在一定条件下无限可以向有限转化，这在当时是一种多么新奇美妙的数学思想啊！还有，我国著名数学家华罗庚（19101985）创造的优选法和黄金分割有十分密切的联系，黄金分割奇妙的用处令人眼花缭乱，数学的奇