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十字相乘法的运算技巧详解十字相乘法，就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式，是一元二次方程解法之一。“十字相乘法”：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。对于某些首项系数是1的二次三项式【】的因式分解：即：一般地，这就是说，对于二次三项式，若能找到两个数、，使 则就有（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。）对于首项系数不是1的二次三项式：十字相乘法相对来说难学一些,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便。 一、十字相乘法的特点：1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。二、十字相乘法的应用举例：例1. 十字相乘法的图解及待定系数 已知二次三项式2x2-mx-20有一个因式为(x+4)，求m的值.分析：用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解： 8-5=3=-m 解：2x2-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x2+3x-20 -m=3 m=-3 （由例1我们应该明白，“十字相乘”法，并非凭空而来，也没有什么新东西 像不像？只要懂(ax+b)(cx+d)，就懂“十字相乘”，这样，十字相乘中各数的意义，你记得更清楚了吧？)再如例2：把m+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-112，-26，-34，-43，-62，-121当-12分成-26时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 6 所以m+4m-12=（m-2）（m+6） 请观察比较例题中的各题，你能发现把常数分解成两个整数、之积时的符号规律吗？若，则、同号当时、同为正，当时、同为负若，则、异号当时、中的正数绝对值较大，当时、中的负数绝对值较大分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整；用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解例3、 因式分解与系数的关系 若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k可取的值有( ) A.5个 B.6个 C.8个 D.4个分析：因为二次项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n为整数) 因为16=28，16=(-2)(-8) 16=44，16=(-4)(-4) 16=116，16=(-1)(-16) 所以k=10，8，16 答案：B(是不是有一点即通的感觉？这一层窗户纸不厚，数学要的就是心细，胆大)例4.分组分解后再用十字相乘 把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式 解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15 =2(x-2y)2-11(x-2y)+15 =(x-2y)-32(x-2y)-5 =(x-2y-3)(2x-4y-5) 说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例5.换元法与十字相乘法 把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解. 解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6 =(x2+x)+1(x2+x)+2-6 =(x2+x)2+3(x2+x)-4 =(x2+x+4)(x2+x-1) 说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解，如摸底检测第3题答案应当是C. 再如、例6、 把10x-27xy-28y-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x-27xy-28y-x+25y-3 =10x-（27y+1）x -（28y-25y+3） 4y -3 7y -1 =10x-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y 1） 5 4y - 3=2x -（7y -1）5x +（4y -3） =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 说明：在本题中先把28y-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：2x -（7y -1）5x +（4y -3） 解法二、10x-27xy-28y-x+25y-3 2 -7y5 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 x -7y 1 5 x +4y -3=（2x -7y）+1 （5x +4y）-3 =（2x -7y+1）（5x +4y -3） 说明:在本题中先把10x-27xy-28y用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为（2x -7y）+1 （5x +4y）-3. (试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数去分析) 例6.因式分解与十字相乘法 已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值 解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12 (x2+y2)(x2+y2)-1-12=0 (x2+y2)2-(x2+y2)-12=0 (x2+y2)-4(x2+y2)+3=0 x2+y20 (x2+y2)+30 (x2+y2)-4=0 x2+y2=4 说明：我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程。虽然目前还没学二次方程的解法，但通过这个题，我们可以发现，对二次三项式因式分解是解一元二次方程的方法之一. 三、强化练习1.把下列各式分解因式(1)x-x2+42 (2) (3)a2n+a4n-2a6n (4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2 (5)x2-xy-2y2-x-y2.已知：x2+xy-2y2=7,求：整数x、y的值答案与提示：1.(1)-(x-7)(x+6) (2) (3)-a2n(an+1)(an-1)(2a2n+1) (