数学期望与方差.docx

1同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为，则的数学期望是（ ）A20 B25 C30 D402设随机变量，若的数学期望，方差，则（ ）A. B. C. D.3已知随机变量，随机变量，则 .4一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出只小球，用随机变量表示摸出的只球中的最大号码数，则随机变量的数学期望 5一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数的数学期望=_.6在一个圆锥体的培养房内培有20只蜜蜂，过圆锥高的中点有一个不计算厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫做第二实验区，且两个实验区是互通的，假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的.（1）求蜜蜂甲落入第二实验区的概率；（2）若其中有3只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（3）记为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量的数学期望和方差.7有三位环保专家从四个城市中每人随机选取一个城市完成一项雾霾天气调查报告，三位专家选取的城市可以相同，也可以不同.（1）求三位环保专家选取的城市各不相同的概率；（2）设选取某一城市的环保专家有人，求的分布列及数学期望.8从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和（1）求X是奇数的概率；（2）求X的概率分布列及数学期望9有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为.小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币.（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率；（2）若用表示小华抛得正面的个数，求的分布列和数学期望；（3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率.10甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙、乙胜丙的概率都为，各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.（1）求第局甲当裁判的概率；（2）记前局中乙当裁判的次数为，求的概率分布与数学期望.11已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同. 某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球. 若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖. 每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数的分布列及数学期望.12我校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选一题答一题的方式进行。每位选手最多有5次答题机会。选手累计答对3题或答错三题终止初赛的比赛。答对三题直接进入决赛，答错3题则被淘汰。已知选手甲连续两次答错的概率为（已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响）（1）求选手甲回答一个问题的正确率；（2）求选手甲进入决赛的概率；（3）设选手甲在初赛中答题个数为X，试写出X的分布列，并求甲在初赛中平均答题个数。13一个袋中装有大小相同的球个，其中红球个，黑球个，现从袋中有放回地取球，每次随机取个，求：（1）连续取两次都是红球的概率；（2）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过次，求取球次数的概率分布列及期望.14某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查下面是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图（）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）已知样本中玩电脑游戏时长在的学生中，男生比女生多1人，现从中选人进行回访，记选出的男生人数为，求的分布列与期望15甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：（1）乙取胜的概率；（2）比赛打满七局的概率；（3）设比赛局数为X，求X的分布列和数学期望16某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响年龄分组项培训成绩优秀人数项培训成绩优秀人数3018362412943（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段和内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为，求的概率分布和数学期望17射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量表示该射手一次测试累计得分，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得分数的分布列和数学期望E；（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。18一个袋子装有大小和形状完全相同的编号为的个红球与编号为的个白球，从中任意取出个球（）求取出的个球中恰好有个球编号相同的概率；（）设为取出的个球中编号的最大值，求的分布列与数学期望19（本小题满分13分）甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为 （1）求甲队分别以，获胜的概率；（2）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望20（本小题满分12分）已知一个袋子里装有只有颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个，现从中随机取球，每次只取一球.（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望.21（满分14分）随机将这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记（1）当时，求的分布列和数学期望；（2）令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；（3）对（2）中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由。22(本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以表示笼内还剩下的果蝇的只数.（）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（）求数学期望E；（）求概率P（E）.23甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望。试卷第5页，总6页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1B【解析】试题分析：因为一次同时抛掷枚质地均匀的硬币，恰好出现枚正面向上的概率，所以，所以，故选B考点：独立性检验及二项分布的应用2D【解析】试题分析：，得，故选D.考点：二项分布与次独立重复试验的模型.3【解析】试题分析：根据二项分布的数学期望及其性质，可得，.考点：二项分布的数学期望及其性质.4【解析】略5【解析】取值为0,1,2,3，且有，. .6（1）；（2）；（3），【解析】试题分析：（1）由题意得蜜蜂落入培养房内任何位置都是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，可以得到这是一个几何概型，作差条件的所给的两个几何体的体积，求比值即可得到结果；（2）本题符合独立重复试验，实验一共重复次，恰好有一次发生，发生的概率根据上一问作出的结果，代入公式得到结果；（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，得到变量满足二项分布，根据二项分布的期望公式得到结果试题解析：（1）记“蜜蜂甲落入第一试验区的事件为，落入第二试验区的事件为，所以蜜蜂甲落入第二试验区的概率.（2）恰有一只红色蜜蜂落入第二试验区的概率（3）由题意知，所以考点：几何概型及其概率的计算；离散型随机变量的分布列及二项分布的期望7（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据排列组合的知识和古典概型及其概率的计算公式，即可求解；（2）由题意得出随机变量，求解出随机变量取每个值的概率，列出分布列，利用公式，即可求解期望.试题解析：（1）事件表示“三位环保专家选取的城市各不相同”，则.（2）由题意可知，所以的分布列是：数学期望.考点：古典概型及其概率的计算；随机变量的分布列与数学期望.8（1）（2）【解析】试题分析：（1）因为X是奇数，所以三个数字必是一奇二偶：按是否取0讨论，有而能组成的三位数的个数是，因此所求概率为P(A)（2）先确定随机变量取法3，4，5，6，7，8，9再分别求对应概率，最后利用公式求数学期望，注意按是否取0讨论试题解析：解：（1）记“X是奇数”为事件A，能组成的三位数的个数是48 X是奇数的个数有28，所以P(A)答：X是奇数的概率为 （2） X的可能取值为3，4，5，6，7，8，9当 X3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X3)；当 X4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X4)；当 X5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X5)当 X6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X6)；当 X7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X7)；当 X8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X8)；当 X9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X9)；所以X的概率分布列为：E(X)3456789 考点：概率分布，数学期望9（1）；（2）随机变量的分布列见解析，；（3）【解析】试题分析：（1）由已知得小华抛得一个正面两个反面包含的情况是（正正反）、（正反正）、（反正正）；小红抛得两个正面一个反面的情况是（正正反）、（正反正）、（反正正），根据情况写出概率，本题为交事件且相互独立，所以最后要把概率相乘；（2）由题意的取值为，指的是三枚硬币中全是反面；指的是三枚硬币中只有一个是正面，包含三种情况；指的是三枚硬币中两枚为正面，一枚为反面，包含三种情况；指的是三枚硬币中全是正面，再分别求出概率列出分布列，求出期望；（3）由（2）知，求出即可试题解析：（1）设A表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，B表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，则,，则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为.（2）由题意的取值为，且；.所求随机变量的分布列为数学期望（3）设C表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”，则所求概率为=所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为.考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列与数学期望【易错点晴】本题主要考查的是离散型随机变量的分布列与数学期望和古典概型，属于中档题解题时一定要注意考虑到所有情况，否则很容易出现错误解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误10（1）（2）【解析】试题分析：（1）第2局中甲必负，对手可为乙或丙，需分类讨论：第2局中乙当裁判时，第2局中丙当裁判时，（2）先确定随机变量可能的取值为. 再分别求对应概率，最后利用数学期望公式求数学期望试题解析：解：（1）第2局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，所以第3局甲当裁判的概率为. （2）可能的取值为. ；. 所以的数学期望. 考点：概率分布与数学期望11（1）（2）【解析】试题分析：（1）在1次摸奖中，获得二等奖指若摸出4个球中有3个红球，1个黑球；分两种情况，一是黑球从甲箱摸出，二是黑球从甲箱摸出，故概率为（2）先确定随机变量：0，1，2再确定在1次摸奖中获奖的概率，可从正面分一、二、三等奖，也可从反面，即摸出4个球中有1个红球，3个黑球或4个黑球，最后根据重复试验确定分布列及数学期望.试题解析：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件， 则 （2）设“在1次摸奖中，获奖” 为事件，则获得一等奖的概率为；获得三等奖的概率为；所以由题意可知的所有可能取值为0，1，2 ，所以的分布列是所以考点：概率分布及数学期望12（1） （2） （3） 【解析】试题分析：（1）甲答对一个问题的正确率为由题意，解方程求出正答率；（2）由题意进入决赛至少答对三道题，故进行决赛分为三类事件，答对三题入决赛，四题入决赛，五题入决赛，分别算出这三个事件的概率，求其和即可；（3）X的取值为3，4，5，对应的事件分别是前三个题全部答对，前四个题答对了三个，其中第四题一定对，前五个题答对了三个，第五个一定答对，分别求出它们的概率，列出分布列，求出期望试题解析：（1）设甲答对一个问题的正确为P1，则（1-P1）2=，P1=（2）甲答完三题进入决赛的概率为甲答完四题进入决赛的概率为甲答完五题进入决赛的概率为甲可以进入决定的概率为P= （3）EX=考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式13（1）；（2）概率分布列见解析，【解析】试题分析：（1）第一次和第二次取到红球的概率都是，由此能求出连续取两次都是红球的概率（2）的可能取值为，分别求出随机变量取每个值对应的概率，即可列出分布列，求出随机的变量的期望试题解析：(1) 连续取两次都是红球的概率. (2) 的可能取值为, ，. 的概率分布列为. 考点：概率的计算及其随机变量的分布列与数学期望14();()详见解析.【解析】试题分析：()根据频率分布直方图计算样本的众数，就是看最高的这组数据的区间中点，中点就是众数，平均数的计算方法，每组区间中点乘以本组的频率和就是平均数，而频率是本组矩形的面积； ()首先根据频数等于频率乘以100，和本组中的男生和女生人数，然后列 的可能取值，列分布列和数学期望.试题解析：解：（）（）样本中玩电脑游戏时长在的学生为人，其中男生3人，女生2人，则 的可能取值为1，2，3的分布列为123来源:Zxxk.Com所以考点：1.频率分布直方图的应用；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.15（1）；（2)；(3)分布列见解析，【解析】试题分析：（1)若已知已知甲先赢了前两局，列举乙胜的可能情况，第一种是乙连胜四局；第二种是在第局到第局，乙赢了局，第七局乙赢，列出两种情况求和；（2）比赛打满局有两种结果：甲胜或乙胜，实际上甲胜和乙胜的概率是一样的，设出事件列出算式得结果；（3）比赛最少要打局，最多是局，所以离散型随机变量的取值是，列出分布列，得到期望.试题解析：（1）当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢 在第一种情况下，乙取胜的概率为， 在第二种情况下，乙取胜的概率为， 所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为 (2)比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A，记“比赛打满七局乙胜”为事件B.则，又A，B互斥，所以比赛打满七局的概率为。(3)随机变量X的所有可能取值为4，5，6，7，所以X的分布列为故随机变量X的数学期望.考点：（1）互斥事件的概率加法公式；（2)离散型随机变量及其分布列.16（1）；（2）；（3）概率分布见解析，数学期望是.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图和频率分布表及本层抽样的方法可求出各年龄段分别应抽取的人数；（2）用各组的中点代表该组数据乘以该组的频率相加即得全校教师的平均年龄；（3）先分别求出和的人数，再根据相互独立事件概率公式，求出两组中两项培训结业都优秀的概率，求出分别取得概率即的其分布列和数学期望.试题解析：（1）由频率分布直方图知，（2）（3）在年龄段内的教师人数为（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人项培训结业考试成绩优秀的概率为；项培训结业考试成绩优秀的概率为，此人、两项培训结业考试成绩都优秀的概率为，在年龄段内的教师人数为（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人项培训结业考试成绩优秀的概率为；项培训结业考试成绩优秀的概率为，此人、两项培训结业考试成绩都优秀的概率为由题设知的可能取值为0，1，2，的概率分布为012的数字期望为考点：用样本的数字特征估计总体及离散型随机变量的分布列和数学期望.17（1）分布列见解析，3；（2）方案2通过测试的概率更大【解析】试题分析：（1）列出随机变量的所有可能取值，利用相互独立事件同时发生的概率公式求出每个变量的概率，列表得起分布列，再求其数学期望；（2）利用互斥事件有一个发生的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式进行求解试题解析：在甲靶射击命中记作,不中记作；在乙靶射击命中记作,不中记作，其中 的所有可能取值为，则，的分布列为：， 射手选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为 ,； , 因为，所以应选择方案2通过测试的概率更大考点：1.随机变量的分布列和期望；2.相互独立事件同时发生的概率公式18（I）；（II）分布列见解析，【解析】试题分析：（I）设“取出的个球中恰好有个球编号相同”为事件，可根据排列组合的知识求解概率；（II）找出随机变量的取值为：，计算取每个值的概率，列出分布列，求解数学期望试题解析：（）设“取出的个球中恰好有个球编号相同”为事件， 则 （）的取值为：， ， 所以，的分布列为：. 考点：古典概型及其概率的计算及随机变量的分布列与数学期望19（1），；（2）X的分布列为 X 5 6 7 【解析】试题分析：（1）记甲队以，获胜的事件分别为A，B，事件说明第五场甲负，第六场甲胜，因此，事件说明第五、六两场甲都负，第七场 甲胜，因此；（2）从题设可知的取舍分别5，6，7，可分别求出相应的概率，得分布列.试题解析：（1）设甲队以，获胜的事件分别为A，B，甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为， ，甲队以，获胜的概率分别为和（2）随机变量X的可能取值为5，6，7， ， ，随机变量X的分布列为 X 5 6 7 考点：相互独立事件的概率，随机变量的分布列与数学期望.20（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）可根据独立事件同时发生的概率进行分类求解；或利用二项分布的