《复变函数》主要内容浏览式复习.ppt

教材 吴 复变函数 华工出版社参考 1 西安交大 复变函数 高教出版社 2 杨纶标 复变函数 科学出版社 复变函数论 多媒体教学课件 覃永ayaqin 2010 9 第一章 复数与复变函数 1 1复数 复数 复数相等是指 虚数 纯虚数 复数的四则运算 复平面 复平面 模 非零复数的辐角 复数的共轭 复数的三角表示 复数加 减法的几何表示如下图 基本不等式 例1试用复数表示圆的方程 例2 设 是两个复数 证明 三角表示的乘法 三角表示的乘法 欧拉公式 指数表示式 三种表示式的互化 关键是会用表示幅角 复数的乘幂 复数的乘幂 可以看到 k 0 1 2 n 1时 可得n个不同的值 即z有n个n次方根 其模相同 辐角相差一个常数 均匀分布于一个圆上 这样 复数的乘幂可以推广到有理数的情形 例5 求所有值 解 由于 所以有 有四个根 复球面与无穷大 无穷远点 对应于球极射影为N 我们引入一个新的非正常复数无穷远点 称为扩充复平面 记为 无穷远点 关于无穷远点 我们规定其实部 虚部 辐角无意义 模等于 它和有限复数的基本运算为 这些运算无意义 第一章复数与复变函数1 2复变函数 复变函数的定义 注3 复变函数等价于两个实变量的实值函数 若记z x iy w Ref z iImf z u x y iv x y 则f z 等价于两个二元实变函数u x y 和v x y 函数的几何意义 函数f也称为从E到C上的一个映射或映照 函数的几何意义 单射 双射 一一对应 反函数 复变函数极限的定义 复变函数极限与实值函数极限 注解 1 几何意义 2 与重极限的关系 3 四则运算 保持加 减乘除 分母不等于零 复变函数连续性的定义 复变函数连续性与实值函数连续性的关系 注1 实初等函数在其有定义的地方连续 注解 1 四则运算 保持加 减乘除 分母不等于零 2 复合运算 3 关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过来 如一致连续性 闭区域上连续函数的基本性质 一致连续性 有界性 取到极大模和极小模等 4 同样我们也可以定义非正常极限 例6 2 1解析函数 导数 解析 Cauchy Riemann方程 解析的充要条件 2 2 1 初等函数 1 指数函数与对数函数 指数函数的定义 指数函数的基本性质 对数函数的定义 对数函数的主值 三种对数函数的联系与区别 对数函数的基本性质 2 2 2 初等函数 2 三角函数与反三角函数 三角函数的概念 三角函数的基本性质 则对任何复数z Euler公式也成立 cosz和sinz是单值函数 cosz偶 sinz奇 所有三角公式也成立 三角函数的基本性质 cosz和sinz以为周期 零点也与实的一样 三角函数的基本性质 不成立 三角函数的基本性质 在整个复平面解析 其它三角函数 反三角函数 掌握计算表达式的推导方法 2 2 3 初等函数 3 幂函数双曲 反双曲函数 幂函数的定义 当a为正实数 且z 0时 还规定 幂函数的基本性质 等于n次方根 幂函数的基本性质 幂函数的基本性质 其中应当理解为某个分支 双曲函数 chz和shz以2pi为周期 chz偶 shz奇 chz shz shz chz 反双曲函数计算公式的推导方法类似于反三角函数 第三章复变函数的积分 3 1复积分定义 性质及计算 复积分定义 分割 取点 求和 取极限 直接计算法 把曲线参数方程代入化为定积分 存在性 连续函数必可积 性质 反向变号 线性 模不等式 一个重要例题 3 2 3 3柯西 古萨基本定理复合闭路定理原函数与不定积分 沿某一条曲线 第三章复变函数的积分 柯西 古萨基本定理 连续变形原理 复合闭路定理 牛莱公式 回忆以上内容 并总结一下求积分的方法 第三章复变函数的积分 3 4 3 5柯西积分公式高阶导数公式 调和函数 第三章复变函数的积分复积分的定义 性质及计算柯西定理复合闭路定理原函数与不定积分 本章小结 柯西积分公式高阶导数公式 调和函数 分割 取点 求和 取极限 复积分概念 柯西 古萨定理 D C 复合闭路定理 D C 闭路变形原理 一个重要的结果 z0 r z0 更一般 积分的模不等式 z0 柯西积分公式 z0 平均值公式 z0 D C 高阶导数公式 解析函数的无穷可微性 重要特性 由复合闭路定理 典型例子 更一般地 高阶导数公式的应用 补充知识 不要求掌握 柯西不等式 z0 C 刘维尔 复平面上解析且有界的复函数是常数 代数基本定理 在复平面上n次多项式至少有一个零点 实部和虚部调和 调和是实部 也是虚部 由实部或虚部求解析函数 偏积分法 不定积分法 线积分法 解析与调和 总之 本章介绍了复积分的概念和几个积分定理和公式 核心是掌握复积分的计算 已介绍的方法有 提要 此外 还有用级数计算 ch4 用留数计算 ch5 1 将曲线的参数方程代入 化为定积分 2 求不定积分 用牛顿 莱布尼兹公式计算 前提条件 3 用柯西积分公式以及高阶导数公式计算 另外 要掌握已知解析函数的实部或虚部求解析函数的方法 偏积分法 不定积分法 线积分法 掌握一种 第四章级数 4 1 1 复 函 数项级数 复数序列 zn 极限 定理 序列 zn 收敛 于z0 的必要与充分条件是 序列 an 收敛 于a 以及序列 bn 收敛 于b 充要条件 归结性 复数项级数就是 部分和序列 如果序列收敛 那么我们说级数收敛 定理 如果级数收敛 那么 充要条件 归结性 绝对收敛 相对收敛 定理 级数绝对收敛的充要条件是 级数以及绝对收敛 定理 若级数绝对收敛 则它一定收敛 柯西收敛原理 复数项级数 级数 收敛必要与充分条件是 任给 可以找到一个正整数N 使得当n N p 1 2 3 时 柯西收敛原理 复数序列 序列 收敛必要与充分条件是 任给 可以找到一个正整数N 使得当m及n N 定理 如果复数项级数及绝对收敛 并且它们的和分别为 那么级数 它们的柯西积 也绝对收敛 并且它的和为 证略 4 1 2 复 函 数项级数 函数项级数 复变函数项级数 部分和 sn z f1 z f2 z fn z 复变函数项级数 在z0收敛 和 s z0 在D内处处收敛 则有和函数s z s z f1 z f2 z fn z 函数项级数 幂级数 定理 阿贝尔Abel z0 x y O 幂级数 收敛圆 在收敛圆的外部 级数发散 收敛圆的内部 级数绝对收敛 收敛圆的半径R称为收敛半径 在收敛圆上是否收敛 则不一定 幂级数 幂级数 收敛半径的求法 幂级数 幂级数 幂级数的运算和性质 更为重要的是代换 复合 运算 这个代换运算 在把函数展开成幂级数时 有着广泛的应用 幂级数 幂级数的运算和性质 幂级数 幂级数的运算和性质 幂级数 幂级数的运算和性质 3 可逐项积分 即 第四章级数 4 2泰勒级数 泰勒展开式定理 定理设函数f z 在圆盘 内解析 那么在U内 解析函数的幂级数刻画 定理函数f z 在一点z0解析的必要与充分条件是 它在z0的某个邻域内有幂级数展式 解析函数幂级数展式的唯一性定理 定理在幂级数展开式定理中 幂级数的和函数f z 在U内不可能有另一种形式的幂级数 注解 于是 我们可以用多种方法求一个函数的泰勒展式 所得结果一定相同 常用的方法有 直接法 直接计算系数法 间接法 代换 复合 运算法 导数 或积分 法 例1 求函数 牢记这三个函数的展式 sinz cosz 例2 z 1 例3 求 的解析分支在z 0的泰勒展式 其中a不是整数 z 1 例3 其中 这是二项式定理的推广 对a为整数情况也成立 例4 函数secz在 解析函数的零点 z0是f z 的m阶零点 单零点 如果z0是解析函数f z 的一个m阶零点 那么显然在它的一个邻域U内 其中在U内解析 解析函数的零点 定理设函数f z 在z0解析 并且z0是它的一个零点 那么或者f z 在z0的一个邻域内恒等于零 或者存在着z0的一个邻域 在其中z0是f z 的唯一零点 此性质我们称为解析函数零点的孤立性 解析函数的唯一性 补充知识 不作要求 定理 解析函数的唯一性定理 设函数f z 及g z 在区域D内解析 设zk是D内彼此不同的点 k 1 2 3 并且点列 zk 在D内有极限点 如果 那么在D内 f z g z 重点 掌握泰勒展开式定理的内容 会求一个给定的函数的泰勒展开式 直接法或间接法 第四章级数 4 3洛朗级数 解析函数的洛朗展式 我们称级数 为洛朗级数 收敛 和函数 收敛域 解析部分 主要部分 洛朗级数的和函数是圆环D内的解析函数 反之 圆环内的解析函数必可展开为洛朗级数即有 洛朗定理 洛朗定理设函数f z 在圆环 内解析 那么在D内 其中 是圆是一个满足的任何数 并且 展式是唯一的 求洛朗展式一般用间接法 要求掌握好 第四章级数 4 4孤立奇点 解析函数的孤立奇点 为f z 的孤立奇点 孤立奇点的分类 可去奇点 1 可去奇点 无负幂项 孤立奇点的分类 极点 2 极点 有有限个负幂项 单极点 m阶极点 孤立奇点的分类 本性奇点 3 本性奇点 无限多负幂项 可去奇点的刻画 定理函数f z 在 内解析 那么是f z 的可去奇点的必要与充分条件是 存在着极限 其中是一个复数 可去奇点的刻画 定理函数f z 在 内解析 那么是f z 的可去奇点的必要与充分条件是 存在某一个正数 使得f z 在内有界 极点的刻画 定理设函数f z 在 内解析 那么是f z 的极点的必要与充分条件是 极点的刻画 定理 m阶极点的结构 z0是函数f z 的m阶极点的充要条件是存在某个正数 使得在内f z 可以表示为 本性奇点的刻画 定理函数f z 在 内解析 那么是f z 的本性奇点的必要与充分条件是 不存在有限或无穷极限 解析函数在无穷远点的性质 设函数f z 在区域 内解析 那么无穷远点称为f z 的孤立奇点 在这个区域内 f z 有洛朗级数展式 解析部分 主要部分 解析函数在无穷远点的性质 1 可去奇点 无正幂项 2 极点 有有限个正幂项 单极点 m阶极点 3 本性奇点 无限多个正幂项 在无穷远点解析 解析函数在无穷远点的性质 设无穷远点为f z 的孤立奇点 令 如果w 0是的可去奇点 m阶 极点或本性奇点 那么分别说是f z 的可去奇点 m阶 极点或本性奇点 等价地可定义 解析函数在无穷远点的性质 定理设函数f z 在区域内解析 那么是f z 的可去奇点的必要与充分条件是 存在着某一个正数 使得f z 在内有界 定理设函数f z 在区域内解析 那么是f z 的可去奇点 极点或本性奇点的必要与充分条件是 存在着极限 无穷极限或不存在有限或无穷的极限 第五章留数 5 1留数 如果z0是f z 的孤立奇点 我们把积分 留数的概念 定义为f z 在孤立奇点z0的留数 记作 其中C是绕z0的正向简单闭曲线 f z 在C上及C内解析 注解 注解2 定理 f z 在孤立奇点z0的留数等于其洛朗级数展式中 的系数 注解3 如果z0是f z 的可去奇点 那么 留数定理 定理1 1 留数定理 设D是在复平面上的一个有界区域 其边界C是简单闭曲线或复合闭路 设f z 在D内除去有孤立奇点 外 在每一点都解析 并且它在C上每一点都解析 那么我们有 这里沿C的积分是按关于区域D的正向取的 留数定理的基本思想 留数的求法 1 可去奇点 或解析 0 2 本性奇点 展为洛朗级数 再用 3 极点 1 用公式I II III IV 重点方法 2 展为洛朗级数 再用 一阶极点留数的计算 设z0是f z 的一个一阶极点 因此在去掉中心z0的某一圆盘内 其中 在这个圆盘内包括z z0解析且在z0不等于0 其泰勒级数展式是 一阶极点留数的计算 1 如果容易求出的泰勒级数展式 那么由此可得 一阶极点留数的计算 如果在上述去掉中心z0的圆盘内 其中P z 及Q z 在这圆盘内包括在z0解析 z0是Q z 的一阶零点 并且Q z 在这圆盘内没有其他零点 那么z0是f z 的一阶极点 且 高阶极点留数的计算 设z0是f z 的一个k阶极点 k 1 则在去掉中心z0的某一圆盘内 其中在这个圆盘内包括z z0解析且在z0不等于0 其泰勒级数展式是 高阶极点留数的计算 1 如果容易求出的泰勒级数展式 那么 用留数计算复积分 例1计算积分 C为正向圆周 z 2 解 由于 有两个一级极点 1 1 而且都在圆周C内 所以 定义 设函数f z 在圆环域R z 内解析 C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线 则积分 的值与具体的C无关 称其为f z 在 点的留数 记作 在无穷远点的留数 定义 定理 留数和定理 如果f z 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 那末f z 在所有各奇点 包括 点 的留数总和必等于零 在无穷远点的留数 留数和定理 在无穷远点的留数 留数的计算 无穷远点留数的计算公式 在无穷远点的留数 用于计算复积分