备战2020年高考数学考点一遍过考点12导数的应用文（含解析）.docx

考点12导数的应用1导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.2生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.一、导数与函数的单调性一般地，在某个区间(a，b)内：（1）如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;（2）如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;（3）如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.（3）函数f (x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a，b)内恒成立，且在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有，不影响函数f (x)在区间内的单调性.二、利用导数研究函数的极值和最值1函数的极值一般地，对于函数y=f(x)，（1）若在点x=a处有f (a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值.（2）若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.2函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.三、生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.解决优化问题的基本思路是：考向一利用导数研究函数的单调性1利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立一般步骤为：（1）求f (x)；（2）确认f (x)在(a，b)内的符号；（3）作出结论，时为增函数，时为减函数注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论2在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.4利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.典例1若，则ABCD【答案】A【解析】令，则，在上单调递增，当时，即，故A正确，B错误.令，则，令，则，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，易知C，D不正确.故选A【名师点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.典例2 已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.【解析】由题意得：的定义域为，（1）当时，则，当时，；当时，的单调递增区间为：.（2）.当时，在上恒成立，在上单调递增，可知满足题意；当时，当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增，不满足题意.综上所述：.【名师点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间、根据函数在区间内的单调性求解参数取值范围的问题，关键是能够明确导数和函数单调性之间的关系，根据导函数的符号来确定函数的单调性.1已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，证明：对任意，.考向二利用导数研究函数的极值和最值1函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号（2）求函数极值的方法：确定函数的定义域求导函数求方程的根检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.2求函数f(x)在a，b上最值的方法（1）若函数f(x)在a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值（2）若函数f(x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a，b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值（3）函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.3利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.典例3 若函数有极大值和极小值，则的取值范围是ABCD【答案】D【解析】，则.因为有极大值和极小值，所以有两个不等的实数根.所以，即，解得或.所以所求的取值范围是.故选D.【名师点睛】本题考查函数的极值与导数.三次多项式函数有极大值和极小值的充要条件是其导函数(二次函数)有两个不等的实数根.求解时，三次函数有极大值和极小值，则有两个不等的实数根，答案易求.典例4 已知函数（1）当时，试判断函数的单调性；（2）若，求证：函数在上的最小值小于【解析】（1）由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在上单调递增（2）由（1）知在上单调递增，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，令，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于2已知函数，其中为实常数.（1）若是的极大值点，求的极小值；（2）若不等式对任意，恒成立，求b的最小值.考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系1导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.2导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.典例 5设函数（，），若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是【答案】D【解析】，因为函数在处取得极值，所以是的一个根，整理可得，所以，对称轴为.对于A，由图可得，适合题意；对于B，由图可得，适合题意；对于C，由图可得，适合题意；对于D，由图可得，不适合题意，故选D.3设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是ABCD考向四 生活中的优化问题1实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.2实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围典例6 如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，CAB=3，ABBD，BC是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线，其中P为BC上异于B，C的一点，PQ与AB平行，设PAB=.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【解析】（1）由题意，CAP=3-，所以，又PQ=AB-APcos=1-cos，所以观光专线的总长度为f()=3-+1-cos=-cos+3+1，03，因为当03时，f()=-1+sin0)，则总成本g()=a(3-+2-2cos)=a(-2cos+3+2)，03，g()=a(-1+2sin)，令g()=0，得sin=12，因为03，所以=6，当06时，g()0；当60.所以，当=6时，g()最小.答：当=6时，观光专线的修建总成本最低.4在四面体ABCD中，若，则四面体ABCD体积的最大值是ABCD1已知函数fx=xlnx+3，则fx的单调递减区间为Ae，+B0，eC0，1和1，eD-，1和1，e2设函数，则A为的极大值点B为的极小值点C为的极大值点D为的极小值点3已知函数与其导函数的图象如图，则满足的x的取值范围为ABCD4设定义在(0，+)上的函数f(x)的导函数f(x)满足xf(x)1，则Af(2)-f(1)ln2Bf(2)-f(1)1Df(2)-f(1)15若函数fx=exx+2在-2，a上有最小值，则a的取值范围为A-1，+B-1，+C0，+D0，+6已知函数，对任意，都有，则实数的取值范围是ABCD7已知函数，函数g(x)=f(x)-m有两个零点，则实数m的取值范围为A(-，8e2)B(8e2，4C(0，8e2)D(-，8e2)4，+)8已知函数，若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是ABCD9已知函数fx=1ex+alnxaR若函数fx在定义域内不是单调函数，则实数a的取值范围是_10已知定义在上的函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为_.11底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥体积的最大值为_12已知函数在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）设，求函数在上的最大值13设函数f(x)=m(x-lnx)-1x-lnx，mR.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若m(0，1)，且f(x)0在区间1，e上恒成立，求m的取值范围.14设f(x)=xlnx-32ax2+(3a-1)x.（1）g(x)=f(x)在1，2上单调，求a的取值范围；（2）已知f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.15已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：当时，.1（2018年高考全国卷文数）函数的图像大致为2（2018年高考全国卷文数）函数的图像大致为3（2017年高考浙江）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是4（2017年高考山东文数）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质.下列函数中具有M性质的是ABCD5（2019年高考浙江）已知，函数若函数恰有3个零点，则Aa1，b0 Ba0Ca1，b1，b06（2019年高考江苏）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .7（2017年高考江苏）已知函数，其中e是自然对数的底数若，则实数的取值范围是 8（2019年高考全国卷文数）已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f （x）为f（x）的导数（1）证明：f （x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围9（2019年高考全国卷文数）已知函数证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数10（2019年高考全国卷文数）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当0a0，x1)，解不等式lnx-1(lnx)21，则f(x)1x，即f(x)-1x0，设gx=fx-lnx，x0，则gx=f(x)-1x0，所以函数gx在(0，+)上为单调递增函数，则g2g1，即f2-ln2f1-ln1，所以f2-f1ln2，故选A5【答案】A【解析】函数fx=exx+2，当-2x-1时，f(x)-1时，f(x)0，即函数fx在(-1，+)上为增函数.f(x)min=f(-1).函数fx=exx+2在-2，a上有最小值，a-1.故选A6【答案】D【解析】由题意可知函数f（x）是（，0）上的单调递减函数，且当x0时，由，可得：2axex+10，即恒成立，令g（x）xex（x0），则g（x）ex（x+1），据此可得函数g（x）在区间（，1）上单调递减，在区间（1，0）上单调递增，函数g（x）的最小值为，则，可得：实数的取值范围是故选D【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中档题求解时，由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数的取值范围即可7【答案】C【解析】当x2时，设h(x)=x2+2xex，则h(x)=(2x+2)ex-(x2+2x)exe2x=-x2-2ex，易知当x2时，h(x)0，而x2时，f(x)=x+2是增函数，f(2)=4g(x)=f(x)-m有两个零点，即y=f(x)的图象与直线y=m有两个交点，所以0m0，g(x)=1-xex，所以函数g(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+)上单调递减，g(0)=0，又x0时，g(x)0，g(1)=1e，所以a0，1e.10【答案】【解析】为偶函数，的图象关于对称，的图象关于对称，.又，.设，则.又，在上单调递减.，即.又，.【名师点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查函数图象变换，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数解不等式，综合性较强，属于中档题.求解本题时，根据为偶函数可得的图象关于对称，由此求得，构造函数，利用导数研究的单调性，将原不等式转化为，由此求得的取值范围.11【答案】【解析】因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，故球的球心在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为点，设，则，在中，有，故，正四棱锥的高为，正四棱锥的体积为，令，故，即，对求导得，令，即，解得，或（舍），当，单调递增，当，单调递减，故当时，.【名师点睛】本题考查了四棱锥与外接球的位置关系问题，解题的关键是找准外接球的球心，建立出四棱锥的体积函数，通过导数进行求解体积的最值.设出底面正方形的边长，根据内接关系，得出正四棱锥的高，进而得出正四棱锥的体积的函数式，求导得出最值.12【解析】（1）由题意，函数，则，而，代入切线方程：，解得.（2）由（1）得，知，令，解得；令，解得，在上单调递增，在上单调递减，根据图象的变换可得，当时，函数，再设，则，令，解得；令，解得，在上单调递增，在上单调递减，的定义域为，在上的最大值为.【名师点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用13【解析】（1）函数f(x)的定义域为(0，+)，f(x)=(x-1)(mx-1)x2，当m=0时，f(x)=-x+1x2，函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+)上单调递减；当m0时，1m01，函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+)上单调递减；当0m1时，11时，01m1，函数f(x)在区间(0，1m)上单调递增，在区间(1m，1)上单调递减，在区间(1，+)上单调递增.（2）若m(0，1)，且f(x)0在区间1，e上恒成立，等价于在区间1，e上f(x)max0.由（1）中的讨论，知当0m1e时，1me，函数f(x)在区间1，e上单调递减，f(x)max=f(1)=m-10，即m1，从而得0m1e；当1em1时，11me，函数f(x)在区间1，1m上单调递减，在区间1m，e上单调递增，f(x)max=maxf(1)，f(e)，即只需f(1)=m-10f(e)=m(e-1)-1e-10，即m1me+1e(e-1)，由于1ee+1e(e-1)1，从而得1eme+1e(e-1).综上，m的取值范围为(0，e+1e(e-1).14【解析】（1）f(x)=lnx-3ax+3a，则g(x)=lnx-3ax+3a，x(0，+)，g(x)=1x-3a，g(x)在1，2上单调递增，1x-3a0对x1，2恒成立，即a13x对x1，2恒成立，得a16；g(x)在1，2上单调递减，1x-3a0对x1，2恒成立，即a13x对x1，2恒成立，得a13，由可得a的取值范围为-，1613，+.（2）由（1）知，a0，f(x)在(0，+)上单调递增，x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)在x=1处取得极小值，符合题意；0a1，又f(x)在(0，13a)上单调递增，x(0，1)时，f(x)0，f(x)在(0，1)上单调递减，在1，13a上单调递增，则f(x)在x