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002 矢量运算模型矢量运算是高中物理的重点和难点之一. 常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等，由于其运算贯穿整个高中物理教学的始终，所以我们把矢量运算作为解决其它物理模型的工具，在讲解其他物理模型之前，有必要熟练掌握矢量的运算规律。一. 矢量运算法则：平行四边形定则。1. 标量运算遵循一般的代数法则，矢量运算一般用平行四边形定则，也可推广至三角形定则、多边形定则或正交分解法等。三角形定则：把两个矢量首尾相接，将第一个矢量的箭尾连到第二个矢量的箭头所得到的矢量，即为这两个矢量的合矢量，这种求出合矢量的方法叫做三角形定则。多边形定则：将所有矢量的箭尾与箭头依次相连接，然后将第一个矢量的箭尾连到最末一个矢量的箭头的矢量，就是所要求的合矢量，这种求出合矢量的方法叫做多边形定则，其大小和方向与相加次序无关。正交分解法：是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是用代数运算来解决矢量运算。正交分解法在求解不在一条直线上的多个矢量的和时显示出了较大的优越性。使用正交分解法进行矢量运算在建立平面直角坐标系时，一般选代表各个矢量的作用线或其延长线的交点为坐标原点，并尽可能使较多的矢量落在坐标轴上，这样可以减少需要分解的矢量的数目，简化运算过程。2. 矢量的合成与矢量的分解互为逆运算。矢量的分解虽然是矢量合成的逆运算，但无其他限制时，同一个矢量可分解为无数对大小、方向不同的分矢量，因此，把一个矢量分解为两个分矢量时，应根据具体情况分解。如果已知两个不平行分矢量的方向或已知一个分矢量的大小和方向，分解是唯一的。3. 在合成与分解时贯穿了等效替代的思想。在以后的学习过程中，例如“运动的合成与分解”、“等效电路”、“交变电流有效值的定义”等，都要用到“等效替代”的方法。只要效果相同，都可以进行“等效替代”。二矢量运算的三种模型1. 矢量运算包括矢量的合成与矢量的分解，二者互为逆运算。求和与分解的界限并不是绝对的，很多时候想求和往往必须先要进行分解的运算，从这个角度讲，对分解的理解和掌握程度决定要分析的问题能否取得突破。2. 矢量的分解有广义和狭义两种。狭义的矢量的分解，单一就指力、速度、加速度、电场强度、磁感应强度这些矢量的分解；广义的的矢量的分解可以理解成运动的合成和分解、定理和定律的合成与分解。3. 矢量运算的三种模型：矢量的合成与矢量的分解运算、运动的合成和分解运算、定理和定律的合成与分解运算三. 矢量的合成与分解运算中学物理中涉及的矢量有力、速度、加速度、电场强度、磁感应强度等。同学们只习惯于对力进行分解，但在某些问题中，通过分解除力之外的其它矢量来求解，会收到事半功倍的效果。1. 只分解力 不分解其它的矢量对物体受力分析后选两个互相垂直的方向建系并对没有落在两个坐标轴上的力进行正交分解，再根据物体所处的状态建立物理方程. 解决共点力作用下物体的平衡问题和动力学问题常用此法例1. 一带正电的小球质量为，带电量为，小球在相互垂直的匀强电场和匀强磁场的空间中沿一斜线向下做匀速直线运动，如图1所示。已知其水平分速度为，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，电场力做负功的功率大小为。求电场强度E的大小和方向。（g取，方向可用反三角函数表示）图1例如图2，风洞实验室中可产生水平方向的、大小可调节的风力.现将一套有小球的细直杆放入风洞实验室.小球孔径略大于细杆直径. （sin37=0.6 cos37=0.8）（1）当杆在水平方向上固定时，调节风力的大小，使小球在杆上做匀速运动，这时小球所受的风力为小球所受重力的0.5倍，求小球与杆间的滑动摩擦因数.（2）保持小球所受风力不变，使杆与水平方向间夹角为37，并固定，则小球从静止出发在细杆上滑下距离s所需时间为多少？ 风 图2 2. 只分解加速度 不分解其它的矢量物体受到的所有作用力恰好在互相垂直的两个方向上无需分解, 或对力进行分解运算过程较为繁琐时, 通常分解加速度较为合适通常选作用力所在的两互相垂直的方向建系并对加速度进行正交分解，在所选的互相垂直的方向根据牛顿第二定律建立物理方程求解未知量，即：式中分别表示沿x、y轴方向的合外力，分别表示沿x、y轴方向的加速度例3、如图3所示，电梯与水平面夹角为300,当电梯加速向上运动时，人对梯面压力是其重力的6/5，则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？3. 分解速度（1）处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（）互不干扰。同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。（2）高中物理“速度的分解”这一知识常常“隐形”渗透到不同运动方向的连结体运动的情景中，或者运动物体的速度瞬间发生突变时的情景中。如果解题者稍有不慎，就会因不能正确的应用速度分解，而造成对整道题的解答错误。（3）在速度的合成与分解中，判断物体运动的速度是合速度还是分速度是关键问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动，即物体实际的运动方向为合运动方向. 合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题下面例举几道常出现速度分解的典型例题加以讨论分析，把握此知识点出现的规律性，以便灵活、准确的应用。 图4例4. 如图4，在不计滑轮摩擦和绳质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（ ）A. 绳的拉力大于A的重力B. 绳的拉力等于A的重力C. 绳的拉力小于A的重力D. 拉力先大于A的重力，后小于重力 拓展：某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人在滑轮的正下方，人握绳的手离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当人运动到右方某位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为。问在这个过程中，人对重物做了多少功？例5. 如图5所示，当放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面，滑到图示位置时，B点的速度为v，则A点的速度是_（为已知）。图5 例6. 如图6，一个小球被绳子牵引在光滑的水平板上，以速度v做匀速圆周运动，其半径，现将牵引的绳子迅速放长20cm，使小球在更大半径的新轨道上做匀速圆周运动，求实现这一过渡所需的时间？在新轨道上做匀速圆周运动时，绳子对小球的牵引力F2是原来绳子对小球牵引力F1的多少倍？图6例7. 如图7，三物体A、B、C质量相等，A、B用细绳绕过轻小的定滑轮相连接，开始A、B静止，滑轮间的细绳长MN为2a，现将C物体轻轻挂在MN绳的中点，试求松手后，C物体运动过程能达到的最大速度为多少？图7 例8. 如图8所示，在一个平行板电容器的水平方向的匀强电场中，用丝线在固定点悬挂一个质量为M的小球，使小球带正电，电量正好使小球的重力为小球所受电场力的倍，现拉开小球至丝线正好水平伸直的A位置后自由释放，求小球到最低点B处时线上拉力的大小？图8例9. 如图9，点光源S发出的光通过光屏AB上的孔Q射到平面镜M上，光屏与平面镜的初始位置平行，光线SO方向与平面镜的初始位置垂直，且OQd，当平面镜绕过O点的转轴以角速度逆时针转过角时，光线SO经平面镜反射在光屏AB上的光点P沿AB移动的即时速度是多少？图9四 . 运动的合成与分解运算1. 运动的合成与分解的实质：物体的运动状态要用位移、速度、加速度这些物理量来描述，因此运动的合成与分解实质上就是上述物理量的合成与分解2. 运动的性质和运动状态的决定因素：合运动的性质由合外力与初速度共同决定；分运动的性质由分运动所在方向的合外力和分运动所在方向的初速度共同决定。换而言之，各运动所在方向的加速度和初速度决定所在方向运动的性质和运动状态3. 如果所研究的运动较为复杂，可以根据“运动的合成和分解”知识把它分解为两个较为简单的运动。高中阶段多为把一个复杂的曲线运动分解为两个方向上简单的直线运动，例如平抛运动和带电粒子在电场中的偏转问题、“小船渡河”问题等。例10. 在广场游玩时，一个小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块放置于水平地面上。已知小石块的质量为，气球（含球内氢气）的质量为，气球体积为V，空气密度为（V和均视为不变量），风沿水平方向吹，风速为v，已知风对气球的作用力为（式中k为一已知常数，u为气球相对空气的速度）。开始时，小石块静止在地面上，如图10所示。（1）若风速v在逐渐增大，小孩担心气球会连小石块一起被吹离地面，试判断是否会出现这一情况，并说明理由。（2）若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所经过的空间中的风速v保持不变，求气球所能达到的最大速度的大小。图10五. 定理、定律的分解1. 有些定理、定律的表达式是矢量式。如牛顿第二定律表达式、动量定理的表达式Ft=mv、动量守恒的表达式m1v1+m2v2=m1v1+m2v2、动能定理的表达式。上述各式中涉及力、加速度、速度、冲量、动量等很多矢量，整个表达式是矢量式，特别注意表达式中各矢量的方向和其“正负号”的选取标准。2. 有时为了解题方便的需要，也可将矢量式正交分解。定理、定律的分解，实质上就是定理、定律中的力、加速度、速度、冲量、动量等矢量在互相垂直的两个方向上的正交分解，这样可分别在两个方向上依定理、定律列方程求解。如牛顿第二定律表达式，将其正交分解得式中分别表示沿x、y轴方向的合外力，分别表示沿x、y轴方向的加速度。例11. 在许多风景秀丽但山势陡峭的名山，如泰山、黄山等，为了方便游客，都修建了登山索道，如图11所示。已知泰山索道某段与水平面的夹角为37，当载人车厢沿钢索匀加速向上运动时，车厢中的人对车厢底的压力为其体重的1.25倍，那么车厢对人的摩擦力为其体重的多少倍？图11例12. 如图12所示，真空中有一带电微粒，质量为m，带电量为q，以初速度从A点竖直向上射入水平方向的匀强电场中，微粒在电场中发生偏转到达B点时，速度方向变为水平向右，大小为。求该电场的电场强度E的大小。图12例13. 如图13所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板系统处于静止状态现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d（重力加速度为g） 图13例14. 如图14所示，水平方向的匀强电场场强为E，有一带电物体P自O点竖直向上射入，它的初动能Eko=4J，当P上升至最高点M时，其动能Ekm=5J，那么当它折回通过与O在同一水平线上的O时，其动能Eko=_J。图14例15如图15所示，在水平向右的匀强电场中的A点，有一个质量为m，带电量为-q的油滴以速度v竖直向上运动已知当油滴经过最高点B时，速度大小也为v求：场强E的大小及A、B两点间的电势差 图15 例16如图16所示，水平放置的两平行板相距为，其间有匀强电场，A板带负电，B板带正电，两板间的电势差为。今从B板一端以=60仰角射入一个质量为，带电量为的粒子，初速度为。设该粒子未到达A板，不计重力。求它在竖直方向的最大位移。图16例17.在空间有互相垂直的场强为 E的匀强电场和磁感应强度为的匀强磁场。如图17所示，一电子电量为，质量为，从原点由静止释放，求电子在 y轴方向的最大距离。 图17矢量运算模型答案例答案: 电场强度的大小 设场强E与竖直方向的夹角为， 例解题方法与技巧：（1）设小球所受的风力为F，支持力为FN，摩擦力为Ff，小球质量为m，当杆水平固定，即=0时，作小球受力图，如下图所示，由题意得：F=mg =F/mg=0.5 mg/mg=0.5 (2)沿杆方向，由牛顿第二定律得：Fcos+mgsin-Ff =ma 垂直于杆方向，由共点力平衡条件得：FN+Fsin-mgcos=0 又 Ff =N 联立式得：a=将F=0.5 mg代入上式得a= g 由运动学公式得：s=at2 所以 t= 例分析与解：对人受力分析，他受到重力mg、支持力FN和摩擦力Ff作用，如图1所示.取水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，此时只需分解加速度，据牛顿第二定律可得：Ff=macos300, FN-mg=masin300因为，解得.例解析：把小车的速度为合速度进行分解，即根据运动效果向沿绳的方向和与绳垂直的方向进行正交分解，分别是v2、v1。如图1所示，题中物体A的运动方向与连结处绳子的方向相同，不必分解。A的速度等于v2，小车向右运动时，逐渐变小，可知逐渐变大，故A向上做加速运动，处于超重状态，绳子对A的拉力大于重力，故选项A正确。分析与点拨：此类问题通常是通过定滑轮造成绳子两端的连接体运动方向不一致，导致主动运动物体和被动运动物体的加速、减速的不一致性。解答时必须运用两物体的速度在各自连接处绳子方向投影相同的规律。 拓展：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无法用求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。当绳下端由A点移到B点时，重物上升的高度为：重力做功的数值为：当绳在B点实际水平速度为v时，v可以分解为沿绳斜向下的分速度和绕定滑轮逆时针转动的分速度，其中沿绳斜向下的分速度和重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：以重物为研究对象，根据动能定理得：例解析：把A、B两端点的速度为vA、vB各自做为合速度向沿杆AB的方向和与杆垂直的方向进行正交分解，如图2所示，沿杆AB方向的投影分速度相同，都是v1，那么有：，即求解出A下滑的速度：。分析与点拨：由于杆AB下滑时各点的速度不同，但各点速度沿杆方向的投影相同，即沿杆方向的速度效果相同，所以把两端点的速度必须向沿杆方向上和杆垂直的方向上正交分解。例解析：假设球运动到A点时开始放长，可转化成直视平面图4，球从A点沿切线方向AB飞出，并做匀速直线运动，再被拉紧时在B点，OB为新轨道圆的半径，。球在B点被拉紧前的瞬间速度沿AB方向，即拉紧后在新圆周上的匀速圆周运动的线速度为v1，二者不相等。按照vB的运动效果并作为合速度正交分解，分速度分别是：新圆上过B点沿半径OB向外的速度v2和过B点的切线方向的速度为v1，如图4所示。图4，v2被绳子的拉力作用瞬间变为O，半径为r的圆周上运动时向心力，半径为r1的一个圆周上运动时的向心力，分析与点拨：当绳子放长后，牵引力迅速变为O，球沿切线方向做匀速直线运动，在绳长50cm处被拉紧时，速度的方向突然发生改变后，才能沿新轨道圆做匀速圆周运动，此过程有动能损失。如果忽视这一瞬间的速度分解的关键处理方法，认为速率不变的进入新的圆周运动，导致题问的错解。例图6解析：假设O点下落到O1位置时C物体速度最大，如图5所示，此位置结点O1受到合力为O，C物体的速度最大为，A、B两物体的速度大小相等即，。A、B两物体上升的高度，C物体下降的高度，合速度的两个速度分解如图6（a）（b）而求出。由于该过程A、B、C绳组成的系统机械能守恒：，代入求解得分析与点拨：易分析C物体速度最大时合力为0，如图5所示，此时C、A、B的速度分别为：vC、vA、vB，常犯把速度vC向MO1、NO1两方向分解而得到的错误。实际上物体C的运动有四个效果，应采用两个速度正交分解图处理，如图6（a）、（b）。显然物体A、B在最大时，它们的速率相等，。例解析：易分析球在重力与电场力的合力作用下沿合力方向做初速度为0的匀加速直线运动，直至C点绳子被拉直，此时，如图7所示，线长为L，由动能定理可求球刚到C点时的速度vC，小球在C点受到细线的拉力作用后，速度瞬间发生突变，由vC方向变为与OC垂直方向的速度v1，把合速度vC进行正交分解，分解为沿半径OC方向的分速度v2和沿切线方向的速度，即v2在线拉力的作用下减至零，损失了动能。小球由C到B的运动过程中应用动能定理：（1）在B点：（2）（1）（2）联立可得：分析与点拨：必须考虑到球沿直线AC方向运动到沿CB弧圆周运动过渡时的C点的动能损失，如不分析C位置的速度突变，就会造成由A点到B点整体运动过程使用动能定理的错误解法。例9解析：易分析出反射光线OP转动的角速度等于平面镜转动角速度的2倍，合速度正交分解为切线方向分速度和OP方向的分速度，如图8所示。，由速度分解图可求得分析与点拨：反射光线OP射到屏上的P点时，必须确定光点在AB方向上运动的速度是合速度，转动的线速度为分速度，易出现把v1作为合速度分解，当作分速度的错误解答。例10 分析：（1）对由气球、绳、小石块组成的整体进行受力分析，如图4所示。开始时小石块能牵住气球静止在水平地面上，说明竖直方向上的受力平衡。如果风速v增大，则水平方向上的受力将不再平衡，但竖直方向上的受力不变。所以气球连同小石块会向左运动，但小石块不会被吹离地面。图4（2）经分析知，气球达到最大速度时做匀速直线运动，其运动方向斜向左上方。将气球的运动分解为水平方向和竖直方向的两个匀速直线运动。根据力的平衡条件，得：水平方向：，即此时气球水平分速度竖直方向：解得：故气球最大速度的大小为：例11分析：对人进行受力分析如图6所示，分解加速度a如图7所示。根据牛顿第二定律的分量表达式，得：水平方向：竖直方向：又联立式，得：例12分析：带电微粒在电场力和重力的共同作用下做类平抛运动，设从A到B经历的时间为t。由动量定理的分量表达式，得：水平方向：竖直方向：联立式，得：例13解：系统静止时，弹簧处于压缩状态，分析A物体受力可知：F1 = mAgsin，F1为此时弹簧弹力，设此时弹簧压缩量为x1，则F1 = kx1，得x1 = 在恒力作用下，A向上加速运动，弹簧由压缩状态逐渐变为伸长状态当B刚要离开C时，弹簧的伸长量设为x2，分析B的受力有：kx2 = mBgsin，得x2 = 设此时A的加速度为a，由牛顿第二定律有：F-mAgsin-kx2 = mAa，得a = A与弹簧是连在一起的，弹簧长度的改变量即A上移的位移，故有d = x1+x2，即：d = 例14解析：这个题目可以根据力的独立作用原理和运动的独立性来处理。此带电体P在电场力和重力的共同作用下，根据运动的独立性带电体P在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做初速为零的匀加速直线运动。设带电体P在点的动能为，到达点的动能为，到达点的动能为。由于在竖直面内做竖直上抛运动，所以到的时间与到的时间相等即