3振动系统的运动微分方程.ppt

返回总目录 第3章振动系统的运动微分方程 MechanicalandStructuralVibration 机械与结构振动 主讲贾启芬 第3章振动系统的运动微分方程 目录 3 1牛顿定律和普遍定理3 2拉格朗日运动方程3 3刚度影响系数作用力方程3 4柔度影响系数位移方程 MechanicalandStructuralVibration 3 1牛顿定律和普遍定理 第3章振动系统的运动微分方程 MechanicalandStructuralVibration 3 1 1质点的运动微分方程3 1 2质点系动能定理的微分形式3 1 3刚体平面运动微分方程3 1 4普遍定理的综合应用 3 1牛顿定律和普遍定理 MechanicalandStructuralVibration 3 1 1质点的运动微分方程 3 1牛顿定律和普遍定理 MechanicalandStructuralVibration 牛顿第二定律 质点在惯性坐标系中的运动微分方程有以下几种形式 3 1牛顿定律和普遍定理 设质点系由n个质点组成 其在理想约束的条件下 质点系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和 有 其中 表示作用在质点系上主动力的元功 表示质点系动能的微分 3 1 2质点系动能定理的微分形式 MechanicalandStructuralVibration 3 1牛顿定律和普遍定理 刚体的平面运动可简化为具有相同质量的平面图形在固定平面内的运动 质心运动定理和相对质心动量矩定理 得 上式称为刚体平面运动微分方程 应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题 MechanicalandStructuralVibration 3 1 3刚体平面运动微分方程 3 1牛顿定律和普遍定理 动量定理 动量矩定理 动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关系 称为质系的普遍定理 各个定理都是从不同的方面提出了建立运动微分方程的方法 从而为解决动力学的基本问题提供了依据 MechanicalandStructuralVibration 3 1 4普遍定理的综合应用 第3章振动系统的运动微分方程 MechanicalandStructuralVibration 3 2拉格朗日 Lagrange 运动方程 如果作用于质点系的力是有势力 引入拉格朗日函数 保守系统的拉格朗日方程 3 2 3完整的保守系统的拉格朗日运动方程 拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法 MechanicalandStructuralVibration 3 2拉格朗日运动方程 广义力 拉格朗日第二类动力学方程 简称拉格朗日方程 经推导得 如果作用于质点系的力有非有势力 则广义力 3 2 4完整的非保守系统的拉格朗日运动方程 MechanicalandStructuralVibration 3 2拉格朗日运动方程 应用拉氏方程解题的步骤 1 判定质点系的自由度数n 选取适宜的广义坐标 必须注意 不能遗漏独立的坐标 也不能有多余的 不独立 坐标 2 计算质点系的动能T 表示为广义速度和广义坐标的函数 MechanicalandStructuralVibration 3 2拉格朗日运动方程 或 若主动力为有势力 须将势能U表示为广义坐标的函数 4 建立拉氏方程并加以整理 得出n个二阶常微分方程 5 求出上述一组微分方程的积分 3 计算广义力 计算公式为 MechanicalandStructuralVibration 3 2拉格朗日运动方程 图摆振系统 例图示系统 摆的支点在水平方向受到弹性约束 其总刚度为k 摆的质量为m 摆长为l 试用拉格朗日方程求出系统的运动方程 解 1 选择x及 为广义坐标 2 动能及势能 动能 势能 3 广义外力为零 3 2拉格朗日运动方程 MechanicalandStructuralVibration 这就是摆的运动方程 当微幅振动时 取cos 1 sin 0 并可略去高阶项 则可简化为 两式相减得到 得到运动方程 图摆振系统 4 运动方程 MechanicalandStructuralVibration 3 2拉格朗日运动方程 解 取刚体质心O点偏离平衡位置的x y和刚体绕质心的转角 为广义坐标 即 图刚体微幅运动 例图示的刚体由四根拉伸弹簧支承 被限制在图示平面内运动 图示位置为平衡位置 且质量为m 转动惯量IO 试导出微幅运动微分方程 并且四根弹簧端点的坐标分别为 MechanicalandStructuralVibration 3 2拉格朗日运动方程 图刚体微幅运动 系统的动能为 系统的势能为 计算拉格朗日方程中各项导数 拉格朗日方程 MechanicalandStructuralVibration 3 2拉格朗日运动方程 代入拉格朗日方程 得系统运动微分方程为 图刚体微幅运动 MechanicalandStructuralVibration 3 2拉格朗日运动方程 例已知 弹性系数为k 滑块质量为m1 水平面光滑单摆长l 摆锤质量为m2 试列出该系统的运动微分方程 解 系统为二自由度保守系统 取x 为广义坐标 x轴原点位于弹簧自然长度位置 逆时针转向为正 例题 第二类拉格朗日方程 MechanicalandStructuralVibration 系统动能 例题 第二类拉格朗日方程 MechanicalandStructuralVibration 系统势能 以弹簧原长为弹性势能零点 滑块A所在平面为重力势能零点 拉格朗日函数 例题 第二类拉格朗日方程 MechanicalandStructuralVibration 代入拉氏方程 化简得 系统的运动微分方程 例题 第二类拉格朗日方程 MechanicalandStructuralVibration 上式为系统在平衡位置 x 0 0 附近微幅运动的微分方程 若系统在平衡位置附近作微幅运动 此时 5o cos 1 sin 略去二阶以上无穷小量 则 例题 第二类拉格朗日方程 MechanicalandStructuralVibration 拉格朗日方程的初积分 例题 例均质圆柱体的半径为r 质量为mO 在水平面上滚动而无滑动 在其中心水平轴O上 装有一细长杆的单摆 摆长l 集中质量为m 细长杆的质量不计 求此系统在其平衡位置附近作微幅摆动的固有频率 MechanicalandStructuralVibration 拉格朗日方程的初积分 例题 系统的动能为均质圆柱体的动能与集中质量动能的算术和 MechanicalandStructuralVibration 拉格朗日方程的初积分 例题 选取通过O轴的水平面为重力的零势能平面 此系统的势能函数 拉格朗日函数为 对于广义坐标 来说 MechanicalandStructuralVibration 拉格朗日方程的初积分 例题 或 对于广义坐标 来说 MechanicalandStructuralVibration 拉格朗日方程的初积分 例题 分析此系统在其平衡位置附近的微幅运动 即都很小 sin sin2 2 cos 1 sin2 0 0 MechanicalandStructuralVibration 例楔形体重P 倾角 在光滑水平面上 圆柱体重Q 半径为r 只滚不滑 初始系统静止 圆柱体在斜面最高点 试求 1 系统的运动微分方程 2 楔形体的加速度 解 研究整体系统 具有两个自由度 取广义坐标为x s 各坐标原点均在初始位置 第二类拉格朗日方程 例题 MechanicalandStructuralVibration 系统的动能 系统的势能 取水平面为重力势能零点 例题 MechanicalandStructuralVibration 第二类拉格朗日方程 代入保守系统拉氏方程 拉格朗日函数 并适当化简 得到系统的运动微分方程 例题 MechanicalandStructuralVibration 第二类拉格朗日方程 解得楔形体的加速度为 拉格朗日函数L中不显含t 故系统存在能量积分 例题 MechanicalandStructuralVibration 第二类拉格朗日方程 3 3刚度影响系数作用力方程 MechanicalandStructuralVibration 第3章振动系统的运动微分方程 3 3刚度影响系数作用力方程 一般情况下 n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式 若用矩阵表示 则可写成 式中分别是系统的坐标矢量和加速度矢量 0 方程中各项均为力的量纲 因此 称之为作用力方程 MechanicalandStructuralVibration 质量矩阵 刚度矩阵 MechanicalandStructuralVibration 3 3刚度影响系数作用力方程 刚度矩阵中的元素称刚度影响系数 在单自由度系统中 简称弹性常数 它表示系统单位变形所需的作用力 具体地说 如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移 沿其它质量的坐标方向施加作用力而使它们保持不动 则沿第i个质量坐标方向施加的力 定义为刚度影响系数kij 在第j个质量坐标方向上施加的力称刚度影响系数kjj 由刚度影响系数的物理意义 可直接写出刚度矩阵 从而建立作用力方程 这种方法称为影响系数法 刚度矩阵 MechanicalandStructuralVibration 3 3刚度影响系数作用力方程 现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵 画出各物块的受力图根据平衡条件 有 首先令 在此条件下系统保持平衡 按定义需加于三物块的力 MechanicalandStructuralVibration 3 3刚度影响系数作用力方程 画出受力图 则有 同理 令 画出受力图 有 最后令 MechanicalandStructuralVibration 3 3刚度影响系数作用力方程 因此刚度矩阵为 刚度矩阵一般是对称的 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质 即 MechanicalandStructuralVibration 3 3刚度影响系数作用力方程 3 4柔度影响系数位移方程 MechanicalandStructuralVibration 第3章振动系统的运动微分方程 在单自由度的弹簧 质量系统中 若弹簧常数是k 则就是物块上作用单位力时弹簧的变形 称柔度影响系数 用表示 具体地说 仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移 即定义为 n自由度系统的柔度矩阵为n阶方阵 其元素称为柔度影响系数 表示单位力产生的位移 3 4柔度影响系数位移方程 MechanicalandStructuralVibration 现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数 当受到F1作用后 第一个弹簧的变形为 第二和第三个弹簧的变形为零 首先施加单位力 这时三物块所产生的静位移分别是 所以三物块的位移都是 MechanicalandStructuralVibration 3 4柔度影响系数位移方程 第三个弹簧不受力 故其变形为零 因此有 令 第一和第二弹簧均受单位拉力 其变形分别为 MechanicalandStructuralVibration 3 4柔度影响系数位移方程 再令 可得到 系统的柔度矩阵为 MechanicalandStructuralVibration 3 4柔度影响系数位移方程 柔度矩阵一般也是对称的 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质 即 系统的柔度矩阵为 MechanicalandStructuralVibration 3 4柔度影响系数位移方程 用柔度影响系数来建立其运动微分方程 系统运动时 质量的惯性力使弹簧产生变形 应用叠加原理可得到 MechanicalandStructuralVibration 3 4柔度影响系数位移方程 写成矩阵形式 位移方程 是非奇异的 即的逆矩阵存在 与作用力方程比较 MechanicalandStructuralVibration 3 4柔度影响系数位移方程 即当刚度矩阵是非奇异时 刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵 当刚度矩阵是奇异时 不存在逆矩阵即无柔度矩阵 此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动 如图示系统具有刚体运动 柔度矩阵不存在 柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系 MechanicalandStructuralVibration 3 4柔度影响系数位移方程 例试写出图所示刚体AB的刚度矩阵并建立系统的运动微分方程 解 刚体AB在图面内的位置可以由其质心C的坐标yC 以水平位置O为坐标原点 且水平运动不计 和绕C转角确定 MechanicalandStructuralVibration 3 4柔度影响系数位移方程 图为时的受力图 分别表示保持系统在该位置平衡 应加在C点的力和力偶矩 由刚体AB的平衡条件得到 MechanicalandStructuralVibration 3 4柔度影响系数位移方程 图为时的受力图 分别表示保持系统在该位置平衡 应加在铅直平面内的力偶矩和加在C点的力 由平衡条件得 刚度矩阵 MechanicalandStructuralVibration 3 4柔度影响系数位移方程 图为取任意值时 刚体AB作平面运动的受力图 根据达朗贝尔原理 可写出系统的运动微分方程 整理后得到 MechanicalandStructuralVibration 3 4柔度影响系数位移方程 例试