上海交通大学线性代数试卷及答案.doc

上 海 交 通 大 学线 性 代 数(B)试 卷-A卷 2007-01-10姓名_ _ _班级_ _ _学号_ _题号一二三四总分得分一、单项选择题（每题3分，共15分）1设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的 (A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。2已知为四维列向量组，且行列式 ，则行列式 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。3设向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是 (A) 向量组线性无关；(B) 对任一个，向量组线性相关；(C) 存在一个，向量组线性无关；(D) 向量组与向量组等价。4对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是 (A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；(B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；(C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；(D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。5设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。二、填空题（每题3分，共15分）6 列向量 是矩阵 的对应特征值的一个特征向量. 则 ， ， 。7设阶向量，；矩阵 ,且 ，则_ _。8已知实二次型正定,则常数的取值范围为_。 9设矩阵，是中元素的代数余子式，已知，则 。10设，已知向量与线性相关，则 。三、计算题(每题9分,共54分)11 (1) 求方程的根，其中 ；(2) 计算阶行列式。12设实向量，其中，矩阵(1) 试说明矩阵能相似于对角阵； (2) 求可逆矩阵，使为对角阵，并写出此对角阵； (3) 求行列式。13已知线性方程组 ，试讨论：(1) 取何值时，方程组无解； (2) 取何值时,方程有唯一解，并求出其解；(3) 取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。14. 设实二次型 ，求：正交变换，将化为标准型。15. 设的基为 ， 。(1) 试由构造的一个标准正交基 ；(2) 求由基 的过渡矩阵；(3) 已知向量，求向量在基下的坐标。16. 已知为阶矩阵，且满足方程，其中。(1) 证明：矩阵可逆；(2) 求矩阵。四、证明题(每题8分,共16分)17设向量组线性无关，且可由向量组线性表示。证明：(1) 向量组线性无关；(2) 向量组与等价；(3) 向量组中存在某个向量，使得向量组线性无关。18设是阶矩阵,是的特征多项式。证明: 矩阵可逆的充分必要条件为的特征值都不是的特征值。线性代数（B）（05062）期末试卷（A）参考答案一、选择题 1.(C) 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5.(A) 二、填空题 6-1,-3,0； 7. ； 8. ； 9； 10. 1。三、计算题11（1），1，1，3，3； （4分）（2） 。 （9分）12(1) 为实对称矩阵，所以相似于对角阵。 (2分) (2) 因为，所以是的特征值。 又秩，所以是的另两个特征值。 设为对应的特征向量，则由，得对应的线性无关的特征向量，令则 。 (7分) (3) 的特征值为21=1，1+1=2，1+1=2，因此。 (9分)13(1) 时， ，无解 (2分)(2)时，唯一解 (5分)(3) 时，无穷多解, 通解 。 (9分)14； (8分) 。 (9分)15(1),， （3分）(2) （6分）(3) （9分）注：本题答案不唯一，如，则，16(1) （4分）(2) ， (9分）四、证明题17(1) ，故， (2分) (2) ，且可由线性表示,故向量组与等价 (5分)(2) 若不，则对任意， 线性相关，