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竖直埋管有限长线热源的改进模型湖南大学 杜次元 陈友明 摘要：讨论了竖直埋管换热器的有限长线热源模型，其解析解广泛应用于地源热泵地埋管换热器传热分析的设计模拟软件中。本文提出了新的钻孔中点和平均“g-函数”解析解的形式，该解显著的提高了计算速度，可以优化地源热泵竖直地埋管换热器的设计计算。关键词：传热模型 竖直地埋管换热器 温度响应 g-函数 Improved the nite line-source model for vertical geothermal boreholesCiyuan Du, Youming ChenAbstract：The heat transfer model of vertical ground heat exchangers for ground-source heat pump systems is discussed. An explicit solution of a finite line-source model can be easily incorporated into computer programs for thermal analysis of ground heat exchangers. In this paper we propose a new analytical solution of g-function for middle and mean temperature response of borehole, which can significantly improve the calculation speed and can be applied to vertical ground heat exchanger design for ground-source heat pump.Keywords：model vertical ground heat exchanger temperature response g-function1 前言地源热泵系统作为一种清洁、节能和高效的空调系统，在民居建筑和商业建筑中应用广泛。地源热泵系统主要由热泵主机和地埋管换热器构成。地埋管换热器一般有水平和竖直两种埋管形式，目前地埋管换热器大多采用具有良好传热性能的竖直埋管形式。早期的竖直埋管传热模型主要是圆柱面热源模型1或线热源模型2。该模型忽略地面边界条件的影响，不能分析长期传热的影响。Eskilson3考虑轴向热流和地面定温条件的影响，提出有限长线热源模型，并提出了基于无量纲温度响应的“g-函数”方法，该方法已应用于地源热泵设计软件GLHEPRO4中。但其“g -函数”需进行数值计算，须预先算出不同钻井域的“g-函数”，因此在应用中缺乏灵活性。Zeng5等在Eskilson基础上得到“g-函数”的解析表达式，使得“g-函数”可以灵活的应用于地源热泵系统的设计模拟中。Lamarche6提出新的“g-函数”的解析形式，并改进了计算精度和速度。本文提出另一种新的“g-函数”的解析解形式，能灵活的运用于任意结构的钻井域中。本文的结果在地源热泵系统的设计模拟中具有较大的应用价值。2 有限长线热源模型假定土壤为半无限大均匀介质，土壤温度及热物性均匀一致，地表温度等于土壤初始温度T0，钻孔近似为轴心线上有限长度的线热源。则温度场T(r,z,t) 满足热传导方程： (1)边界初始条件为： ， (2)其中，rb为钻孔壁半径，H为钻孔深度，q0为单位钻孔深度上的热流密度。Zeng5由虚拟热源和格林函数法得到了有限长线热源模型的解析解： (3)其中，ks为岩土的导热系数，为岩土的热扩散系数。采用“g-函数”进行钻孔传热分析，其定义为单孔或者多孔地埋管换热器的钻孔壁在阶跃热流下的温度响应。则单孔g-函数为： (4)地埋管换热器的设计需要确定钻孔壁温度。通常情形下，取钻孔壁中点（r=rb, z=0.5H）的温度作为代表温度。因此单孔中点温度“g-函数”为： (5)用孔壁中点的温度作为孔壁的代表温度在定义上很简单，取整个孔壁深度方向温度的积分平均值作为孔壁代表温度，这样在传热计算中更合理。则单孔平均温度“g-函数”为： (6)平均温度“g-函数”在更能精确的表述钻孔壁温，然而在计算中要用二重数值积分，计算速度较慢。Lamarche6通过调换式（6）积分顺序得出了新的平均“g-函数”解析式： (7)其中：，式（7）计算速度较快，可以方便的应用于工程设计计算中。本文利用不同的数学方法分别得出新的单孔中点和平均“g-函数”的解析式。3 解析“g-函数”考虑“g-函数”在时间域里连续光滑，故存在关于变量Fo的偏导数： (8)且存在g(Fo=0)=0，故单孔新“g-函数”的表达式为： (9)则可得单孔中点温度“g-函数”： (10)单孔平均温度“g-函数”关于Fo的偏导函数可以通过对式（9）积分平均得来： (11)其中， (12)即有： (13)其中，同理得单孔平均温度“g-函数”： (14)4 计算分析4.1 不同“g-函数”的计算效率对比为充分评估不同“g-函数”的计算速率，我们进行以下的计算比较：1. 单孔中点不同“g-函数”（5）和（10）的对比；2. 单孔平均不同“g-函数”（6）、（7）和（14）的对比。所有计算采用Matlab编程完成，电脑主频为1.60Gz，其计算时间如下表1和2所示。表1 单孔中点“g-函数” 计算耗时(s)Table1 Comparison of the calculation time for g-function (middle-temperature) of one borehole(s)计算次数10次20次200次方程（5）0.200.455.18方程（10）0.080.193.15表2 单孔平均“g-函数” 计算耗时(s)Table 2 Comparison of the calculation time for g-function (mean-temperature) of one borehole(s)计算次数10次20次200次方程（6）49.8113.9方程（7）0.280.555.78方程（14）0.080.213.30从表1和表2 可以看出，使用新方程（10）和（14）来分别表示单孔中点和平均“g-函数”时，两者的计算速率都较原来的方程提高很多，并且两者的计算速率相近。并且，平均温度“g-函数”式（14）比Lamarche提出的式（7）计算速率更快。4.2 多钻孔计算对多个钻孔进行分析计算时，我们利用Eskilson3提出的“g-函数”方法叠加原理进行计算。当存在N个钻孔时，任一钻孔中点和平均温度“g-函数”可分别表达为： (15) (16)其中，主要分别讨论2钻孔和4钻孔在不同间距（D=1m，5m）的“g-函数”对比，计算结果如图2和3所示。从图中可以看出，钻孔间间距D越大，“g-函数”越小，D=时，表示钻孔之间没有热流影响，“g-函数”最小,此时可看作单孔形式。同时对多钻孔中点和平均温度“g-函数”进行了对比，图2和3均表明，中点温度较平均温度的“g-函数”偏大，因此在进行地埋管换热器钻井域的计算中，采用平均温度“g-函数”可以减少设计误差。图2. 间距D=1m，5m的2钻孔“g-函数”Fig2. g-functions for 2 boreholes in distance 1m and 5m (rb/H=0.001)图3. 间距D=1m，5m的4钻孔“g-函数”Fig3. g-functions for 4 boreholes in distance 1m and 5m (rb/H=0.001)5 结论有限长线热源模型在竖直埋管换热器的传热分析应用较广，其“g-函数”方法在地源热泵设计模拟软件中（如GLHEPRO、地热之星等）应用广泛。本文提出了新的钻孔中点和平均温度“g-函数”解析解的形式，该解可以显著的提高计算速度，并能在提高计算计算精度情况下显著提高计算速度，可以应用于地源热泵竖直地埋管换热器的设计计算中。参考文献1 Carslaw H, Jaeger J. Conduction of Heat in SolidsM. Oxford, 1947.2 Ingersoll L, Zobel O, Ingersoll A. Heat Conduction with Engineering, Geological and Other ApplicationsM. New York, 1954.3 Eskilson P, Thermal analysis of heat extraction boreholesD. Lund University, Department of Mathematical Physics, Lund, Sweden, 1987.4 Spitler J D. GLHEPRO, A design tool for commercial building ground loop heat exchanger C. in: Fourth International Conference on Heat Pumps in Cold Climates, Aylmer, 2000.5 Zeng H, Diao N, Fang Z. A nite line-source model for boreholes in geothermal heat exchangersJ. Heat Transfer Asian Research, 2002, 31(7): 558567.6 Lamarche L, Beauchamp B. A new contribution to the nite line-source model for geothermal boreholes.