抽象函数单调性的判断.doc

www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！ 抽象函数单调性的判断例已知函数对任意实数，均有且当时，试判断的单调性，并说明理由. 解析：根据题目所给条件，原型函数为，（）此为增函数类比其证明方法可得：设，且，则，故故在（，）上为增函数例已知函数在上是奇函数，而且在上为增函数，证明在上也是增函数解析：此函数原型函数同样可以为，而奇函数这个条件正是转化的媒介设，且，为奇函数，由假设可知，即，且，由于在上是增函数，于是有，即，从而，在上是增函数例已知函数对于任意正数，都有,且0,当1时, 1试判断在（，）上的单调性，并说明理由解析：此函数的原型函数可以为显然此函数在（，）上是减函数对于（，）有又，设，（，），且则，故在（，）上为减函数一般形式为 y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域、值域等。 山武补充：1抽象函数常常与周期函数结合，如：f(x)=-f(x+2)f(x)=f(x+4)2解抽象函数题，通常要用赋值法，而且高考数学中，常常要先求F（0） F（1）抽象函数的经典题目！我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2002年上海高考卷12题，2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题等。学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法谈一点粗浅的看法。一特殊值法:在处理选择题时有意想不到的效果。例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，yR)，当x0，则函数f (x)在a,b上 ( )A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( )分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx(k0)， , , ，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)，与此类似的还有 特殊函数 抽象函数f (x)= x f (xy) =f (x) f (y)f (x)= f (x+y)= f (x) f (y)f (x)= f (xy) = f (x)+f (y)f (x)= tanx f(x+y)= 此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k0)当x 0即kx 0。.k 0，可得f (x)在a,b上单调递减，从而在a,b上有最小值f(b)。二赋值法根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而来解决问题。例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法解:令y = -x，则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，yR)得f (0) = f (x) +f (-x).,再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入式得f (-x)= -f(x)。得 f (x)是一个奇函数，再令 ，且 。x 0，而 ，则得 ，即f (x)在R上是一个减函数，可得f (x)在a,b上有最小值f(b)。例3 已知函数y = f (x)(xR，x0)对任意的非零实数 ， ，恒有f( )=f( )+f( ),试判断f(x)的奇偶性。解：令 = -1， =x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) 为了求f (-1)的值，令 =1， =-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令 = =-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。三利用函数的图象性质来解题：抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。抽象函数解题时常要用到以下结论：定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x= 对称。定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，周期为a-b。 例4 f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。从图上直观地判断，然后再作证明。由图可直观得T=2,要证其为周期函数，只需证f (x) = f (2 + x)。证明：f (x) = f (-x) = f 2-(-x) = f (2 + x)， T=2。f (x)是一个周期函数。例5 已知定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若f (1-m)f (m),求实数m的取值范围分析：根据函数的定义域，-m，m-2,2，但是1- m和m分别在-2，0和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。解：f (x)是偶函数， f (1-m)f(m) 可得 ，f(x)在0，2上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1m 一、适当赋值赋值主要从以下方面考虑：令x=，2，1，0，1，2，等特殊值求抽象函数的函数值；令x=x2，y=x1或y=，且x10时，f(x)0.试判断f(x)的奇偶性和单调性.分析：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，f(0)=0，又令y=x，f(x)+f(x)=f(xx)=f(0)=0，即f(x)=f(x)，f(x)是奇函数，再设x1、x2R，且x10，f(x2x1)0，从而f(x2)f(x1)，f(x)在(.+)上是增函数.二、变量代换根据题设条件中所给等式或不等式的结构特点及欲证的结论，将题中的某些量替换为的需要的量(要注意新换的变量的取值范围，要与原题设条件等价)，可以得到较为简单的等式或不等式，然后再设法作进一步的转化从中获解，例2 已知函数f(x)存在反函数且f(x)+f(x)=2，则f1(x1)+f1(3x)=_.分析：本题无法直接求出f1(x)，若将已知等式左边看成两个函数，利用变量代换，则有如下简解：令y1=f(x)，y2=f(x)，则x=f1(y1)，x=f1(y2)，且当y1+y2=2时，有f1(y1)+f1(y2)=xx=0，(x1)+(3x)=2，f1(x1)+f1(3x)=0.三、利用函数性质根据题目所给的条件，分析、探求函数具有哪些特殊的性质，比如：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，然后充分利用这些性质进行求解.例3 f(x)是定义在R上的函数，且满足如下两个条件：对于任意x，yR，有f(x+y)=f(x)+f(y)；当x0时，f(x)0，且f(1)=2.求函数f(x)在3，3上的最大值和最小值.分析：设0x1x23，由条件得f(x2)=f(x2x1)+x1=f(x2x1)+f(x1)，即f(x2x1)=f(x2)f(x1)，x2x10，由条件得f(x2x1)0,f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，f(x)在0，3上是减函数，在条件中令x=y=0，则f(0+0)=f(0.)+f(0)，f(0)=0.再令x=y，得f(xx)=f(x)+f(x)，f(x)=f(x)，f(x)是奇函数，f(x)在3，0上是减函数，又当x0时f(x)=f(x)0，从而f(x)在3，3上是减函数，f(x)max=f(3)=f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=f(1)f(1)f(1)=3f(1)=6，f(x)min=f(3)=f(3)=6.例4 已知函数f(x)=ax5+bsinx+3，且f(3)=7，求f(3)的值.解析:f(x)的解析式中含有两个参数a、b，却只有一个条件f(3)=7，无法确定出a、b的值，因此函数f(x)(解析式不确定)是抽象函数，注意到g(x)=ax5+bsinx=f(x)3是奇函数，可得g(3)=g(3)，即f(3)3=f(3)3，f(3)=6f(3)=1.四、正难则反当关于某些抽象函数的命题不易从正面直接证明时，可采用反证法，它往往需结合其它一些求解策略，而此法是处理“是否存在”型函数综合题的常用方法.例5 已知函数f(x)在区间(，+)上是增函数，a、bR，(1)求证：若a+b0，则f(a)+f(b)f(a)+f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论.证明：(1)由a+b0，得ab，由函数f(x)在区间(，+)上是增函数，得f(a)f(b)，同理，f(b)f(a)，f(a)+f(b)f(b)+f(a)，即f(a)+f(b)f(a)+f(b).(2)中命题的逆命题是：若f(a)+f(b)f(a)+f(b)，则a+b0，此逆命题为真命题，现用反证法证明如下：假设a+b0不成立，则a+b0，ab，ba，根据单调性，得f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)+f(b)f(a)+f(b)，这与已知f(a)+f(b)f(a)+f(b)相矛盾，故a+b0不成立，即a+b0成立，因此(1)中命题的逆命题是真命题.五、利用模型函数探路抽象型函数问题的设计或编拟，常以某个基本函数为模型，在解题前，若能从研究的抽象函数的“模型”入手，根据已知条件，寻找其模型函数，通过分析、研究其图象及性质，找出问题的解法或证法.例6 已知定义域为R+的函数f(x)满足：(1)x1时，f(x)0；(2)f()=1；(3)对任意的x，yR+，都有f(xy)=f(x)+f(y).求不等式f(x)+f(5x)2的解集.解析：由题设(3)知f(x)以y=logax为模型函数，由题(1)知0a1，从而y=logax在(0,+)上为减函数，故本题可先证f(x)在(0,+)上为减函数为突破口.设0x1x2，则1，且由f(xy)=f(x)+f(y)，得f(x2)=f(x1)=f()+f(x1)，又由条件x1时，f(x)0，得f()0，f(x2)f(x1)，f(x)在R+上为减函数，又由f(1)=f(1)+f(1)，得f(1)=0，又f()=1，f(2)=f(2)+f()=0，f(2)=1，f(x)+f(5x)2=2f(2)=f(4)，于是，解得0x1或4x5，解集为x(0，14，5).六、数形结合根据题目所给的函数的有关的性质和背景，作出大致符合条件的函数的图象，再根据图象的直观性作出正确解答.例7 若f(x)为奇函数，且在(，0)内是增函数，又f(2)=0，则xf(x)0的解集为( )A.(2,0)(0,2)B.(,2)(0，