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平面向量复习 平面向量复习 表示 运算 实数与向量的积 向量加法与减法 向量的数量积 平行四边形法则 向量平行 垂直的条件 平面向量的基本定理 三角形法则 向量的三种表示 向量的相关概念 一 向量的相关概念 1 零向量 2 单位向量 3 平行向量 4 相等向量 5 相反向量 2 重要概念 3 向量的表示 4 向量的模 长度 1 定义 2 实数 与向量a的积 3 平面向量的数量积 1 两向量的夹角定义 2 平面向量数量积的定义 4 平面向量数量积的几何意义 3 a在b上的投影 5 平面向量数量积的运算律 二 向量的运算 1 加法 两个法则 坐标表示减法 法则 坐标表示运算律 三 平面向量之间关系 向量平行 共线 条件的两种形式 向量垂直条件的两种形式 3 两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等 四 平面向量的基本定理 注 满足什么条件的向量可作为基底 向量定义 既有大小又有方向的量叫向量 重要概念 1 零向量 长度为0的向量 记作0 2 单位向量 长度为1个单位长度的向量 3 平行向量 也叫共线向量 方向相同或相反的非零向量 4 相等向量 长度相等且方向相同的向量 5 相反向量 长度相等且方向相反的向量 几何表示 有向线段 向量的表示 字母表示 坐标表示 x y 若A x1 y1 B x2 y2 则AB x2 x1 y2 y1 向量的模 长度 1 设a x y 则 2 若表示向量a的起点和终点的坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 则 平面向量复习 1 向量的加法运算 A B C AB BC 三角形法则 O A B C OA OB 平行四边形法则 坐标运算 则a b 重要结论 AB BC CA 0 设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 y1 y2 AC OC 平面向量复习 2 向量的减法运算 1 减法法则 O A B 2 坐标运算 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 3 加法运算率 a b b a a b c a b c 1 交换律 2 结合律 BA x1 x2 y1 y2 平面向量复习 实数 与向量a的积 定义 坐标运算 其实质就是向量的伸长或缩短 a是一个 向量 它的长度 a a 它的方向 1 当 0时 a的方向 与a方向相同 2 当 0时 a的方向 与a方向相反 若a x y 则 a x y x y 1 平面向量的数量积 1 a与b的夹角 2 向量夹角的范围 3 向量垂直 00 1800 共同的起点 4 两个非零向量的数量积 规定 零向量与任一向量的数量积为0 a b a b cos 几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 5 数量积的运算律 交换律 对数乘的结合律 分配律 注意 数量积不满足结合律 平面向量数量积的重要性质 1 e a a e a cos 2 a b的条件是a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2或 a 4 cos 5 a b a b a b为非零向量 e为单位向量 二 平面向量之间关系 向量平行 共线 条件的两种形式 向量垂直条件的两种形式 三 平面向量的基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数使 基础训练题 A 4个B 3个C 2个D 1个 A 1B 0C 1D 2 能力训练 F E C D B A N M 例3 已知向量a b不共线 1 若AB a b BC 2a 8b CD 3 a b 求证A B D共线 2 若ka b与a kb共线 求实数k的值 例4O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足则点P轨迹一定通过的 A 外心B 内心C 重心D 垂心 变式 已知点O N P在所在的平面内 且则点O N P依次是的 A 重心 外心 垂心B 重心 外心 内心C 外心 重心 垂心D 外心 重心 内心 例4 平面内给定三个向量回答下列问题 练习 已知 1 2 3 2 当k为何值时 1 k 与 3垂直 2 k 与 3平行 平行时它们是同向还是反向 练习 已知 3 5 且与的夹角为钝角 求实