2019_2020学年高中数学第2章数列2.3.1等比数列（第1课时）等比数列学案新人教B版必修5.docx

第1课时等比数列学 习 目 标核 心 素 养1.理解等比数列的定义(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)1.通过等比数列概念的学习，体现了学生的数学抽象的素养2.借助等比数列的通项公式及其应用的学习，培养学生的数学运算的素养.1等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)(2)符号语言：q(q为常数，q0，nN)思考：等比数列还可以用哪种符号语言表示？提示q(q为常数，q0，n2，nN)2等比中项(1)前提：三个数x，G，y成等比数列(2)结论：G叫做x，y的等比中项(3)满足的关系式：G2xy.思考：任意两数都有等比中项吗？提示不是，只有同号的两数才有3等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an，有公式ana1qn1.这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比4等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为anqn，而yqx(q1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列qn中的各项的点是函数yqx的图象上的孤立点1已知数列a，a(1a)，a(1a)2，是等比数列，则实数a满足()Aa1Ba0或a1Ca0Da0且a1D由于a，a(1a)，a(1a)2，是等比数列，则a需满足a0，a(1a)0，a(1a)20，所以a0且a1.2已知an是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为()Aan23n1Ban32n1Can23n1Dan32n1C由已知可得a12，q3，则数列an的通项公式为ana1qn123n1.3已知an是等比数列，a22，a5，则公比q_.a2a1q2，a5a1q4，得：q3，q.等比数列的判断【例1】已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN)(1)求a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列解(1)由S1(a11)，得a1(a11)，a1.又S2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)证明：当n2时，anSnSn1(an1)(an11)，得.又a1，所以an是首项为，公比为的等比数列判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：(1)定义法：q(q为常数且不为零)an为等比数列(2)等比中项法：aanan2(nN且an0)an为等比数列(3)通项公式法：ana1qn1(a10且q0)an为等比数列(4)构造法：在条件中出现an1kanb关系时，往往构造数列，方法是把an1xk(anx)与an1kanb对照，求出x即可1已知数列an的前n项和Sn2an1，求证an是等比数列，并求出通项公式证明Sn2an1，Sn12an11.an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an，an12an，又S12a11a1，a110.又由an12an知an0，2，an是等比数列an12n12n1.等比中项的应用【例2】在等差数列an中，公差d0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？解由题意知a3是a1和a9的等比中项，aa1a9，(a12d)2a1(a18d)，得a1d，.由等比中项的定义可知：G2abG.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数反之，若G2ab，则，即a，G，b成等比数列所以a，G，b成等比数列G2ab(ab0)2已知等比数列的前三项和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项解设该等比数列的公比为q，首项为a1，1q3(1q)(1qq2)上述两式相除，得q(1q)q.a196.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2a5a7a1q4a1q6aq10962109.a5，a7的等比中项是3.等比数列的通项公式探究问题1类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列an的通项公式吗？提示由等比数列的定义可知：a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，a5a4qa1q4，由此归纳等比数列an的通项公式为ana1qn1.2由等比数列的定义式q(q0)你能用累乘法求出用首项a1，公比q表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项am及公比q表示an吗？提示由q，知q，q，q，q，将以上各式两边分别相乘可得qn1，则ana1qn1；由两式相比得qnm，则anamqnm，事实上该式为等比数列通项公式的推广3在等比数列的通项公式ana1qn1中，若已知a12，q，你能求出a3吗？若已知a12，a38，你能求出公比q吗？这说明了什么？提示若a12，q，则a322；若a12，a38，则2q28，所以q2，由此说明在ana1qn1中所含四个量中能“知三求一”【例3】(1)在等比数列an中，已知a2a518，a3a69，an1，求n；(2)已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，求数列an的通项公式an.思路探究(1)先由a2a518，a3a69，列出方程组，求出a1，q，然后再由an1解出n.(2)根据条件求出基本量a1，q，再求通项公式解(1)法一：因为由得q，从而a132.又an1，所以32n11，即26n20，所以n6.法二：因为a3a6q(a2a5)，所以q.由a1qa1q418，得a132.由ana1qn11，得n6.(2)由2(anan2)5an12q25q20q2或，由aa10a1q90a10，又数列an递增，所以q2.aa100(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.1等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解2关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算3在等比数列an中(1)若它的前三项分别为5，15,45，求a5；(2)若a42，a78，求an.解(1)a5a1q4，而a15，q3，a5405.(2)由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，ana1qn12.1本节课的重点是等比数列的判定与证明、等比数列的通项及等比中项问题，难点是等比数列的证明2本节课的易错点是等比中项的求法及应用两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个()，而不是一个()，这是容易忽视的地方3本节课要重点掌握的规律方法(1)等比数列的判断与证明的方法(2)等比数列通项公式的求法等比数列的通项公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)常数列一定是等比数列()(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列()(3)等比数列中的项可以为零()答案(1)(2)(3)2在等比数列an中，若a10，a218，a48，则公比q等于()ABCD或C由解得或又a10，因此q.3等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项为_4a4a1q3231，a8a1q