第四章 矩阵函数及其应用-1.doc

第四章 矩阵函数及其应用1 向量范数定义4-1 设是数域上的线性空间，若对于中任一向量，都有一非负实数与之对应，并且满足下列三个条件：（1）正定性：当时，都有；（2）齐次性：对于，有；（3）三角不等式：对于任意，都有，则称非负实数是向量的范数。简言之，向量的范数是定义在线性空间上的非负实值函数。酉空间的向量范数用向量长度来定义时，记作。例41 若对酉空间的每个向量，定义，则易证它是中的向量的范数。例42 对于任意的，规定，则也是空间的向量范数。定义（-范数）设，则向量的-范数定义为。常用的-范数有下述三种：（1）1-范数：。（2）2-范数：。（3）-范数：。（3）的证明：令，则，于是，故。所以。定理41（范数的等价性）设是维线性空间，是任意两种向量范数，则总存在正数，使得，有，。 41满足式41的两个不等式的两个向量范数称为等价的。证明 为简单起见，仅就实数域上的维线性空间来证明这一定理。设是的一个基，于是中任一向量可以表示为定义它显然是一个向量范数。又给定的范数具有形式下面证明与等价。上述的可以看作个变量的函数，记，现在证明是连续函数。设另一向量为其范数为则有 所以是一个连续函数。根据连续函数的性质，可知在有界闭集上，函数可达到最大值及最小值。而当时，显然，因此有。，记，则，从而有即 ，亦即 若取，则由此不等式即得，。这就证明了与是等价的。注：根据范数的等价性，利用线性空间中的任一种范数讨论向量序列的收敛性，结果是一致的。但在无限维空间中，范数的等价性不成立。2 矩阵范数Hlder不等式：设，则，其中。当时，Hlder不等式成为Schwarz不等式。Minkowski不等式：，有。定义42 在上定义一个非负实值函数（对每个） ，如果对任意的都满足下列四个条件：（1）正定性：若，则；（2）齐次性：对任意，有；（3）三角不等式：；（4）矩阵乘法的相容性：，则非负实数称为方阵的范数。定义43 若对任何及维列向量，方阵范数能与某种向量范数满足关系式则称方阵范数与向量范数是相容的。可以证明：（1）上的每一方阵范数，在上都存在与它相容的向量范数。（2）上任意两个方阵范数，都是等价的，即存在两个与无关的正数，使得，（）；（3）若，则是一与向量范数 相容的方阵范数，称为Frobenius范数（），简称为F范数。（3）证明如下：由Minkowski不等式可得到三角不等式的证明；由Holder不等式得到矩阵乘法相容性的证明。（V）Frobenius范数的性质：（1）若，则。（2）。（3）在酉变换下矩阵的F范数不变，即：，都有。（3）的证明：。定理 设是向量范数，则 （1）是与向量范数相容的矩阵范数。证明：三角不等式由向量范数的三角不等式得到。矩阵乘法相容性的证明：矩阵范数与向量范数相容性的证明由定义即得。定义 上面所定义的范数称为由向量范数所诱导的矩阵范数，简称为诱导范数。由所诱导的矩阵范数称为矩阵-范数，即。矩阵-范数的计算方法如下。定理 设，则（1）列和范数：。（2）谱范数：，表示矩阵的第个特征值。（3）行和范数：。证明：（1）设，则，且，即，所以。另一方面，设，取，则，且有。于是，。（2）的证明需要用到Rayleigh商；（3）的证明与（1）的证明思路类似。注：与矩阵范数相容的向量范数不是唯一的。3 向量和矩阵的极限定义44 若，如果存在极限（），则称酉空间的向量序列收敛于向量，并记为 或 （）换言之，向量序列的极限是按坐标序列的极限来定义的。当向量序列不收敛时，也叫做发散的。定理42 （对任一向量范数）证明：取向量范数。则（） 定义45 若（），如果存在极限（），则称方阵序列收敛于方阵，记为 或 （）当方阵序列不收敛时，也称为发散的。定理43 （对任一方阵范数）。证明：取。则由矩阵范数的等价性知，结论对任意的范数都成立。基本性质：（1） 收敛矩阵序列的极限唯一。（2） 若，则对于任一种矩阵范数，有界。证明：。（3） 设，则，其中。（4） 设，则。证明：（5） 设，则。（6） 设，且均可逆，则。证明：由，可得，及。定理44 对于阶方阵，若，则。证明：。定理45 对于阶方阵，。这里是的特征值的模中最大者，称为的谱半径。证明：设的Jordan标准形为，其中于是，而，所以。定理5 ，这里是的任一种范数。证明：设，则，故。4 矩阵幂级数定义（矩阵级数及其收敛定义）设，若都收敛（或绝对收敛），则称矩阵级数收敛（或绝对收敛）。关于矩阵级数的收敛问题，有下列基本性质：性质1 若方阵级数绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各项的次序所得的新级数仍收敛，和也不改变。性质2 矩阵级数绝对收敛的充要条件是收敛。证明：，于是性质3 若。如果矩阵级数收敛（或绝对收敛），则矩阵级数也收敛（或绝对收敛）。证明：（1）设，则是的线性组合。由收敛，可推出收敛，推出收敛，故矩阵级数也收敛。（2）若绝对收敛，则收敛。注意到，所以级数绝对收敛，从而矩阵级数绝对收敛。定义 设，称形如的矩阵级数为矩阵幂级数。定义 如果为方阵的全部特征值，则称为的谱半径。定理47 设，存在某一矩阵范数，使得。证明：设的Jordan标准形为，即存在可逆矩阵，使得，其中对角线上元素都是的特征值，而等于1或0。对于给定的，构造对角形矩阵。计算得。令。易证，对于固定的S，是一种矩阵范数。并且。定理48 设复幂级数的收敛半径为，则（1）当时，绝对收敛；（2）当时，发散。证明：（1）因，所以可以找到正数，使得。因为在收敛圆内绝对收敛，所以正项级数收敛。由于，所以级数收敛，所以绝对收敛。（2）当时，设。取单位特征向量，。下面用反证法证明发散。若收敛，则由性质3，知