自主招生试题汇总.doc

2012年北约自主招生数学试题1、求的取值范围使得是增函数.2、求的实数根的个数.3、已知的4个根组成首项为的等差数列，求.4、如果锐角的外接圆的圆心为，求到三角形三边的距离之比.5、已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值.6、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得在有唯一解的.8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形.9、求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中.2012年自主招生华约联考数学试题解答（前4题）2011年北约物理试题1在平直的轨道上，有一辆静止的火车，假设它与地面没有摩擦力，车后有N个组员和一个组长列队排列，沿这辆火车的直线跑步，组长在最后。火车的质量为M，人的质量为m，假设M=2m。（1）组员和组长追火车的速度为，随后组员们以的速度跳上火车，则最后一个组长正好追不上火车，求N是多少？（2）此后组长减速为，为使组长能上车，组员相继以相对车厢速度u向前跳出，求该过程至少消耗组员多少人体内能？解：（1）解得N=2（2）设第一个人跳出后车对地的速度为，第二个人跳出后车对地的速度为，则2、两个相同的铁球，质量均为m，由原长为l、劲度系数为k的弹簧连接，设法维持弹簧在原长位置由静止释放两球（两球连线竖直），设开始时下球距离桌面的高度为h，而且下球与桌面的碰撞为完全非弹性的。（1）求弹簧的最大压缩量（2）如果使铁球放在光滑水平面上绕过系统质心的竖直轴转动，此时弹簧变为L，求转动的角速度。3、（1）将一天的时间记为TE，地面上的重力加速度记为g，地球半径记为。试求地球同步卫星P的轨道半径RP；（2）一卫星Q位于赤道上空，赤道一城市A的人三天看到Q四次掠过上空，求Q的轨道半径。（已知地球表面重力加速度为g，地球半径为RE，地球自转周期为TE，假设卫星运动方向与地球自转方向相同）解:假设每隔时间看到一次（2）则考虑到三天看到四次的稳定状态，由于，故不可能。（2），同理可得令，则又，4、两质量为m的小球，A带电+q，B不带电。两球静止，且相距l，AB方向与E方向相同(电场强度大小为E)。t=0时刻，A开始受电场力而运动。A、B间发生弹性正碰（即发生速度交换），无电量转移，求第8次正碰到第9次正碰之间需要的时间。解：以B为参考系，A先做匀加速运动，AB到第一次碰撞前正碰后，A以返回，减速运动，直到减速为0。再向右加速，之后重复以上过程5、质量相同的小球A、B，在运动过程中发生弹性正碰撞，则A的碰后速度（方向和大小，下同）等于B的碰前速度，B的碰后速度等于A的碰前速度。如图所示，光滑水平绝缘大桌取为O-xy坐标面，空间有竖直向下（图中朝里）的匀强磁场B。1 O-xy平面上距O稍远处得小球A，质量m、电量q0，初速度方向如图所示，大小为。而后A将作为匀速圆周运动，试求圆半径R和周期T。2图中小球、质量也同为m，电量也同为q，开始时分别位于y轴上的、（）位置，初速度方向如图所示，大小也同为。设、间可能发生的碰撞都是弹性碰撞，且不会相互转移电荷（下同）。已知而后能到达处，试求-的可取值。3图中小球B的质量也为m，电量也同为q，t=0时位于x轴上距O稍远的位置，大小也为。现在给你一个质量为m，电量为-q，初速度大小为的小球。t=0时的初始位置和初始速度方向由你选定，但要求在t=（k+）T时刻（k为正整数），B球可达到x轴上与相距尽可能远的（）位置，最后给出你所得的-值。（附注：解题时略去球之间的电作用力） 解：1.2.或3. （x1，），v0沿x轴正方向6、不计电阻的光滑平行轨道EFG、PMN构成相互垂直的L形，磁感应强度为B的匀强磁场方向与水平的EFMP平面夹角（）斜向上，金属棒ab、cd的质量均为m、长均为l、电阻均为R，ab、cd由细导线通过角顶处的光滑定滑轮连接，细线质量不计，ab、cd与轨道正交，已知重力加速度为g。（1）金属棒的最大速度；（2）当金属棒速度为v时，求机械能损失的功率P1和电阻的发热功率P2。7、如图所示，等腰直角三角形棱镜ABC，一组平行光线垂直斜边AB射入（1） 如果光线不从AC、BC面射出，求三棱镜的折射率n的范围；（2） 如果光线顺时针转过，即与AB成角斜向下，不计反射两次以上的光线，当n取（1）中最小值时，能否有光线从BC、AC边射出，从哪条边射出？2011北约自主招生化学试题1、硫在空气中燃烧生成A，A溶于水生成B，B与I2反应生成C和D，C与Na2S（硫化钠）反应生成含硫化合物E。则A、B、C、E分别是_（化学式），E与A、B、C中某种物质反应的方程式是_。2、解释下列现象。（1）用棕色的玻璃瓶盛放AgNO3（硝酸银）溶液。（2）用铁质容器盛放浓H2SO4（硫酸）。（3）用钢瓶盛放液Cl2（氯）。（4）盛放汽油的容器不能用胶塞。3、画出了一个电解装置的图，下面简单描述一下：三个烧杯并排放，从左至右分别盛放Na2SO4（硫酸钠）溶液+酚酞、CuSO4（硫酸铜）溶液、SnCl2（氯化锡）溶液；每个烧杯中都浸有两个惰性电极并连接导线，电极从左至右分别记为a、b、c、d、e、f；其中，b与c、d与e分别用导线相连，a、f的导线连通电源电极，但是图中未标明哪一端是阳极。总之，就是三个串联的电解池。已知条件：通电一段时间后，b电极附近的溶液变成浅红色。要求写出a至f的电极反应方程式。4、在100摄氏度下加热0.125g的CuSO45H2O（五水合硫酸铜），获得0.089g的剩余固体。则剩余固体的化学式是_。5、已知在空气中加热H2C2O42H2O（二水合乙二酸），生成的气体通入澄清石灰水后出现浑浊，则其热分解方程式为_。由此可知Na2C2O4（草酸钠）的热分解方程式为_。6、用一定浓度的NaOH（氢氧化钠）溶液测定相同体积。相同浓度的HCl（盐酸）和CH3COOH（乙酸）的浓度，则滴定CH3COOH（乙酸）时可选用的指示剂是_。在其他条件相同的情况下，分别滴定两种溶液时何者的pH变化较快？简述理由。7、（1）混合体积均为V的CH3COOH（乙酸）和C6H6（苯），混合后的体积比2V增大了1%。说明理由。（2）混合体积均为V的H2O（水）和C2H5OH（乙醇），混合后的体积比2V减小了7%。说明理由。该反应是_（吸释）热反应。（3）混合体积均为V的CH3OH（甲醇）和C2H5OH（乙醇），混合后的体积_2V（从“大于”、”小于”和”约等于”的符号中选一个）。8、有A、B、C、D、E五种有机物，各取1mol在空气中完全燃烧都生成2mol的CO2（二氧化碳）。A与浓H2SO4（硫酸）反应生成C，C与H2（氢气）加成生成D，B氧化生成E，B还原生成A，则A、B、C、D、E分别是_。（题目没有明确要求，应该是写化学式。结构简式和结构式都可以）9、某有机物A的化学式为C3H8O3，它与KHSO4反应生成化学式为C3H4O的醛，硝化则生成有机物C，C能爆炸。（1）写出A的结构式和化学名称。（2）写出生成C的方程式。（3）写出C爆炸的方程式。10、在浓的强碱溶液中存在如下反应：4MnO4-（高锰酸根，紫红色）+OH-（氢氧根）4（MnO4）2-（锰酸根，带2负电，绿色）+ + 。配平该方程式（加号后还缺两种物质，两个4是题目配好的，氢氧根还没配好）。要阻止这一反应，必须设法减少碱的浓度。有如下两种方法：（1）通入CO2（二氧化碳）：4MnO4-（高锰酸根）+CO2（二氧化碳）（MnO4）2-（锰酸根，带2负电）+MnO2（二氧化锰）+（CO3）2-（碳酸根，带2负电）。配平该方程式（4是题目配好的）。（2）电解。写出两极的电解方程式。（3）通电一段时间后，发现溶液又从紫红色变成绿色。试解释原因。2011年华约试题解析一、 选择题(1) 设复数z满足|z|0）,使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。FEPF12aP2cF22x解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在P F1 F2中，E为PF1上一点，PE = PF2，E F1 =2a，F1 F2 = 2c，求。设PE = PF2 = EF2 = x，F F2 = ， ，。E F1 F2为等腰三角形，于是，。(II)（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。（I）求p1，p2，p3，p4；(II)探究数列 pn的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列 pn的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。2011年华约试题解析三、 选择题(1) 设复数z满足|z|0）,使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。FEPF12aP2cF22x解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在P F1 F2中，E为PF1上一点，PE = PF2，E F1 =2a，F1 F2 = 2c，求。设PE = PF2 = EF2 = x，F F2 = ， ，。E F1 F2为等腰三角形，于是，。(II)（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。（I）求p1，p2，p3，p4；(II)探究数列 pn的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列 pn的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。2011年同济等九校(卓越联盟)自主招生数学试题(1)向量a，b均为非零向量，(a-2b)a，(b-2a)b，则a，b的夹角为(A)(B)(C)(D)(2)已知sin2(a+g)=nsin2b，则2等于(A)(B)(C)(D)(3)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为(A)(B)(C)(D)(4)i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则的最大值为(A)-1(B)2-(C)+1(D)2+(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，ABC 三个顶点都在抛物线上，且ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为(A)y2=16x(B)y2=8x(C)y2=-16x(D)y2=-8x(6)在三棱锥ABCA1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为(A)(B)(C)(D)(7)若关于x的方程=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )(A)(0，1)(B)(，1)(C)(，+)(D)(1，+)(8)如图，ABC内接于O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交O于G、F，交O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为(A)(B)(C)(D)2(9)数列an共有11项，a1=0，a11=4，且|ak+1-ak|=1，k=1，2，10满足这种条件的不同数列的个数为( )(A)100(B)120(C)140(D)160(10)设s是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转，t表示坐标平面关于y轴的镜面反射用ts表示变换的复合，先做t，再做s，用sk表示连续k次的变换，则sts2ts3ts4是( )(A)s4(B)s5(C)s2t(D)ts2(11)设数列an满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an()设bn=an+1-an，证明：若ab，则bn是等比数列；()若(a1+a2+an)=4，求a，b的值1）考察数列定义2）a1+a2+a3+.+an=an-an-1+2(an-1-an-2)+3(an-2-an-3)+.+(n-1)(a2-a1)+na1=bn+2bn-1+3bn-3+.+b1+na(错位相减，可得a，b的值)(12)在ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC()求k的取值范围；()若SABC=1，问k为何值时，BC最短？ (13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-相切()求椭圆的方程；()过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值 (14)一袋中有a个白球和b个黑球从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn()求EX1；()设P(Xn=a+k)=pk，求P(Xn+1=a+k)，k=0，1，b；()证明：EXn+1=(1-)EXn+1 (15)()设f(x)=xlnx，求f(x)；()设0ab，求常数C，使得取得最小值；()记()中的最小值为ma,b，证明：ma,bln2 2010年清华大学等五校联考1设，若的实部为2，则其虚部为 2设向量满足，则的最小值为 3已知平面/平面，直线，点与平面的夹角为，AB与m的夹角为，则m与n的夹角为 4正四棱锥P-ABCD中，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A-B1CD1与P-ABCD的体积之比 5已知ABC中，则= 6如图，ABC的两条高AD、BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OE垂直BC于F，OH与AF交于G则OFG与GAH面积之比为 7已知函数，过点A（a,0）作与y轴平行的直线交函数的图象于点P，过点P作图象的切线交x轴于点B，则APB面积的