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不等式证明中的函数思想 函数思想在不等式问题中有着广泛的应用，在证明不等式时，先认真观察不等式的结构特征，或者经过适当的变形后再观察，然后构造出一个与该不等式有关的辅助函数，利用辅助函数的有关性质，将不等式问题转化为函数问题，从而拓宽解题思路，降低问题的难度。构造函数法是一种创造性的数学思想方法，它的应用不仅体现在证明不等式上，还对于训练学生的数学思维，提高解题能力等方面有着很大的帮助。一 构造一次函数例1 已知,求证分析 因为在不等式中的地位可以轮换，所以可以以任何一个作为自变量，构造一次函数证明：原不等式可化为 构造函数 因此只需要证明时恒成立，又 所以 （1）当时， （2）当时， 又因为一次函数的单调性，所以时恒成立 综上，时恒成立，故原不等式得证。二 构造二次函数例2 设函数，方程两根满足，当时，求证 分析 分析已知条件，构造相应的二次函数证明：令 由为方程的两根，所以 当时，由 又 = 得 即 又 = 得 由得 三 构造指（对）数型函数例3 已知实数，求证 分析 利用指数函数的单调性证明证明：原不等式可化为 构造函数 因它是减函数，且 又，则 即，故原不等式成立例4 设为互不相等的正数，求证分析 利用对数函数的单调性证明证明：构造对数函数，在上是增函数 因为与同号， 所以 同理有 将上面三个同向不等式相加，左边展开并加以整理得 所以原题得证四 构造三角函数例4 求证分析 利用三角函数的有界性解决问题证明：令 则= 当即时取等号此时 故原题得证此外，有些不等式从形式上观察，好象无法用构造函数法证明，但只要我们认真观察，善于等价
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