第八章 矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION2.doc

2 场论初步场论初步 一 场论的基本概念及梯度 散度与旋度 标量场 空间区域 D 的每点 M x y z 对应一个数量值 x y z 它在此空间区域 D 上就 构成一个标量场 用点 M x y z 的标函数 x y z 表示 若 M 的位置用矢径 r 确定 则标量 可以看作变矢 r 的函数 r 例如温度场 u x y z 密度场 电位场 e x y z 都是标量场 zyx 矢量场 空间区域 D 的每点 M x y z 对应一个矢量值 R x y z 它在此空间区域 D 上就构成一个矢量场 用点 M x y z 的矢量函数 R x y z 表示 若 M 的位置用矢径 r 确定 则矢量 R 可以看作变矢 r 的矢函数 R r R r X x y z i Y x y z j Z x y z k 例如流速场 x y z 电场 E x y z 磁场 H x y z 都是矢量场 与标量场的情况一样 矢量场概念与矢函数概念 实质上是一样的 沿用这些术语 标量 场 矢量场 是为了保留它们的自身起源与物理意义 梯度 grad i j k x y z x y z 式中 i j k称为哈密顿算子 也称为耐普拉算子 grad有的书刊中记作 del x y z grad的方向与过点 x y z 的等量面 C 的法线方向 N 重合 并指向增加的一方 是函数变化率最大的方向 它的长度等于 N 梯度具有性质 grad grad grad 为常数 grad grad grad gradF grad F 方向导数 l grad cos cos cos l x y z 式中 l cos cos cos 为方向 l 的单位矢量 为其方向角 方向导数为在方向 l 上的变化律 它等于梯度在方向 l 上的投影 散度 divR R div X Y Z x X y Y z Z 式中为哈密顿算子 散度具有性质 div a b diva divb 为常数 div a div a a grad div a b b rot a a rotb 旋度 rotR i j k R z Y y Z x Z z X y X x Y ZYX zyx kji 式中为哈密顿算子 旋度也称涡度 rot R 有的书刊中记作 curl R 旋度具有性质 rot a b rot a rot b 为常数 rot a rot a a grad rot a b b a a b div b a div a b 梯度 散度 旋度混合运算 运算 grad 作用到一个标量场产生矢量场 grad 运算 div 作用到一个矢量场 R 产生标量场 div R 运算 rot 作用到一个矢量场 R 产生新的矢量场 rot R 这三种运算的混合运算公式如下 div rot R rot grad div grad 2 2 x 2 2 y 2 2 z grad div R R rot rot R R div grad div grad div grad 为常数 div grad div grad div grad grad grad grad div R rot rot R R 式中 为哈密顿算子 为拉普拉斯算子 势量场 守恒场 若矢量场 R x y z 是某一标函数 x y z 的梯度 即 R grad 或 X Y Z x y z 则 R 称为势量场 标函数称为 R 的势函数 矢量场 R 为势量场的充分必要条件是 rot R 或 y X x Y z Y y Z x Z z X 势函数计算公式 x y z x0 y0 z0 x x xzyxX 0 d 00 y y yzyxY 0 d 0 z z zzyxZ 0 d 无散场 管形场 若矢量场 R 的散度为零 即 div R 0 则 R 称为无散场 这时必存在 一个无散场 T 使 R rot T 对任意点 M 有 T 1 4 V r d rotR 式中 r 为 dV 到 M 的距离 积分是对整个空间进行的 无旋场 若矢量场 R 的旋度为零 即 rot R 0 则 R 称为无旋场 势量场总是一个无 旋场 这时必存在一个标函数 使 R grad 而对任意点 M 有 1 4 V r d divR 式中 r 为 dV 到 M 的距离 积分是对整个空间进行的 二 梯度 散度 旋度在不同坐标系中的表达式 1 单位矢量的变换 一般公式 假定 x f y g z h 把 空间的一个区域 一 对一地连续映射为 x y z 空间的一个区域 D 并假定 f g h 都有连续偏导数 因 为对应是一对一的 所以有 x y z x y zx y z 再假定也有连续偏导数 则有 dddd dddd dddd zzz z yyy y xxx x 或逆变换 z z y y x x z z y y x x z z y y x x dddd dddd dddd 沿 dx dy dz 方向的单位矢量记作 i j k 沿方向的单位矢量记作 则 d d d eee 有 222 222 222 zyx zyx zyx zyx zyx zyx kji e kji e kji e 圆柱面坐标系的单位矢量 对于圆柱面坐标系 图 8 11 zz y x sin cos 002 z 单位矢量为 ke jie jie z cossin sincos 它们的偏导数为 0 0 0 zzz z z z e ee e ee e e e e e 球面坐标系的单位矢量 对于球面坐标系 图 8 12 cos sinsin cossin rz ry rx 0020 r 单位矢量为 jie kjie kjie cossin sinsincoscoscos cossinsincossin r 它们的偏导数为 ee e e e e e 0 e e e e e 0 e ee cossin cos sin r r r r r rrr 2 矢量的坐标变换 一般公式 一个由 x y z 坐标系所表达的矢量可以用 坐标系来表达 y z i y j z k x x eee 式中 222222222 222222222 222222222 zyx z zyx z zyx z zyx y zyx y zyx y zyx x zyx x zyx x z y x 圆柱面坐标系与直角坐标系的互换 由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式 zz y x cossin sincos 由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式 zz yx yx cossin sincos 球面坐标系与直角坐标系的互换 由球面坐标系到直角坐标系的变换公式 sincos cossincossinsin sincoscoscossin rz ry rx 由直角坐标系到球面坐标系的变换公式 cossin sinsincoscoscos cossinsincossin yx zyx zyx 3 各种算子在不同坐标系中的表达式 设 U U x y z 是一个标函数 V V x y z 是一个矢函数 在圆柱面坐标系中各种算子的表达式 哈密顿算子 e 1 e z z e 梯 度 gradU U U e U1 e z U z e 散 度 divV V z z 11 旋 度 rotV V e z z 1 e z z z e 11 拉普拉斯算子 U div gradU 2 2 2 2 2 11 z UUU 在球面坐标系中各种算子的表达式 哈密顿算子 r r e r 1 e sinr 1 e 梯 度 grad r U r e U r 1 e U rsin 1 e 散 度 div V V sin sin sinrr r rr r 111 2 2 旋 度 rotV V sin sinr 1 r e r rrr r 11 sin e r rr r r 11 e 拉普拉斯算子 U div gradU 2 2 22 2 2 1111 U r U rrr U r rrsin sin sin 三 曲线积分 曲面积分与体积导数 矢量的曲线积分及其计算公式 矢量场 R r 沿曲线的曲线积分定义为 R r dr R ri 1 n i n r 1 0 lim i r 式中ri 1 ri ri 1 右边极限与的选择无关 曲线 i r 由 A 到 B 图 8 13 若矢函数 r 是连续的 就是它的三个分量是 连续函数 曲线也是连续的 且有连续转动的 切线 则曲线积分 rrRd 存在 若 r 为一力场 则 就等于把 rrRd 一质点沿着 移动时力 所作的功 矢量曲线积分的计算公式如下 rrRd zZyYxXddd 图 8 14 21 rrRd 1 rrRd 2 rrRd rrRd rrRd rrTrRd rrRd rrTd k k 为常数 rrRdk rrRd 矢量的环流 如果 为一闭曲线 则沿曲线 的曲线积分 rrRd zZyYxXddd 称为矢量场 r 沿闭曲线 的环流 势量场沿任何闭曲线的环流都等于零 如果 r 为一势量场 且它的势函数为时 则 曲线积分 B A rrRd B A rrRd 与连接 A B 两点的路径无关 只依赖于 A B 两点的 位置 图 8 15 矢量的曲面积分 设 S 为一曲面 令 N 表示在曲面 S 上一点的法 cos cos cos 线单位矢量 A而 dS NdS 表示面积矢量元素 又设 r x y z 是定义在曲面 S 上的连续标 函数 R r X x y z Y x y z Z x y z 是定义在曲面 S 上的连续矢函数 则曲面积分有如下 的三种形式 1 标量场的通量 或流量 dS dydz i dzdx j dxdy k S Syz Szx Sxy 式中 Syz Szx Sxy分别表示曲面 S 在 Oyz 平面 Ozx 平面 Oxy 平面上的投影 Sxy的正负号规定如下 当从 轴正方 向看去时 看到的是曲面 S 的正面 认为 Sxy为正 如果 看到的是曲面的反面 则认为 Sxy为负 图 8 16 2 矢量场的标通量 R dS Xdydz Ydzdx Zdxdy S Syz Szx Sxy 式中 Syz等的意义同 1 3 矢量场的矢通量 R dS Zj Yk dydz Xk Zi dzdx Yi Xj dxdy S Syz Szx Sxy 式中 Syz等的意义同 1 矢量的体积导数 如果 S 是包围体积 V 的闭曲面 并包含点 r 则沿闭曲面 S 的曲面 积分 dS R dS R dS 与体积 V 之比 当 V 趋于零时 即它的直径 的极限 S S S 称为标量场 或矢量场 R 在点 r 处的体积导数 或空间导数 1 标量场的体积导数就是它的梯度 grad V S V Sd lim 0 2 矢量场 的体积导数之一是它的散度 div R V S V SR d lim 0 3 矢量场 的另一个体积导数是它的旋度 rot R V S V SRd lim 0 四 矢量的积分定理 高斯公式 A 这里规定法线单位矢量与曲面分布在切面的两侧 RdV R dS R NdS V div S S 即 VS SZYXzyx z Z y Y x X dcoscoscosddd 式中 为空间区域 的边界曲面 N 为 cos cos cos 在 S 上一点的法线单位矢量 R r X x y z Y x y z Z x y z 在 V S 上有连续偏导数 斯托克斯公式 rot dS rot R NdS R dr S S L 即 yx y X x Y xz x Z z X zy z Y y Z S dddddd S S y X x Y x Z z X z Y y Z dcoscoscos L zZyYxXddd 式中 S 为一定曲面的一侧 L 为曲面 S 的闭边界曲线 L 的正向与 N 构成右手系 S 的每点有 切面 其方向连续地依赖于曲面上的点