Cauchy积分公式及其推论.doc

3 Cauchy积分公式及其推论一、教学目标或要求：彻底掌握柯西积分公式的叙述和证明二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：柯西积分公式的叙述和证明重点：柯西积分公式的叙述和证明难点: 柯西积分公式的叙述和证明三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：9123 Cauchy积分公式及其推论1. Cauchy积分公式我们利用柯西积分定理（复围线形式）导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式。定理3.11 (柯西积分公式)：设c 为区域D 的边界，在上解析，则对于区域D内任一点Z，有：证明：设z 为D 内任意一点，则作为以为自变量的函数除z 点以外在区域D内均解析. 以z 点为心,充分小的为半径作圆周，使及其内部均含于D 内，由柯西定理的推广得由 得由于与积分变量无关，所以 下面证明：根据的连续性，对任意，必存在正数，当，有,因此只要取，则当满足时，就有.于是所以当时，即所以(证毕)柯西积分公式可以改写成 借此公式可以计算某些围线积分（指路径是围线的积分）。 例计算积分 解因在闭圆上解析，由柯西积分公式得 例 计算积分。解 首先，识别积分类型由于被积函数在积分路径内部含有两个奇点与，所以，想到用“挖奇点”法来计算。其次，为了用“挖奇点”法，作，有最后，计算上式右端两个积分，得 故 。例 计算积分 , 其中为解 首先，识别积分的类型。由题可见，所求积分的积分路径为闭路，被积函数在内部含有2个奇点0与。 其次，由所求积分的特征，可用“挖奇点”法来计算。为此，在内部作二圆周，所以，有 得 从而 定理3.11的特殊情形，有如下的解析函数的平均值定理。 定理3.12若在内解析，且在上连续，则即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数。证设表圆周，则 或 由此， 根据柯西积分公式 例 设在上解析,若存在当时且，则在 内 至少有一个零点。证 反证法。设在内无零点。又已知在上无零点，可设，则在 上解析且，由已知 ，但 矛盾。故假设不成立，定理得证。2.解析函数的无穷可微性定理3.13 (高阶导数公式) 设是以围线为边界的单连通区域，若在内解析，且在上连续，则在区域内有各阶导数，并且有 注：公式的条件可减弱为 f(z) 在区域 D 上解析，在闭域 上连续。下面我们来对这一定理作些分析说明。 首先，我们对 Cauchy 公式 两边求导，对右边交换求导与积分的次序，立得一阶导数的 Cauchy 公式。继续求导，重复同样的操作，即得高阶导数的 Cauchy 公式。但这样的做法显然是不严格的，因为求导与积分交换次序的合法性并未得到证明。然而，这一做法能帮助我们熟悉高阶导数公式，并使得我们能够在记得 Cauchy 公式的情况下立即将高阶导数公式做出来。 其次，我们看看怎样可以做得严格一些。以 n=1 为例，对 z 和 分别用 Cauchy 公式，可得 两边取 的极限，对右边交换求极限与积分的次序，立得一阶导数的 Cauchy 公式。类似可得高阶导数公式。 必须指出，这样的做法仍然是不严格的，因为求极限与积分交换次序的合法性也未得到证明。不过，我们已经向严格证明的方向迈进了重要的一大步。 严格的做法是：以 n=1 为例，证明 ，总可找到 ，使得(略)。例 计算 , 是绕 一周的围线。解 例 计算积分。解 由高阶导数公式 定理3.14 设在单连通区域内解析