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成 绩中国矿业大学06级硕士研究生课程考试试卷考试科目数值分析考试时间2007年01月研究生姓名 所在院系 学号 任课教师 班级序号 中国矿业大学研究生培养管理科印制一、填空题（每个空2分，共30分）1 计算方程的两个根，为使计算结果更精确，写出计算表达式： ，。2 设，则其二阶差商 3 ，三阶差商 0 。3 当 -1 ， -3 ， 1 时，函数是一个自然边界（即）三次样条函数。4 设，则 6 ，（=5.29），(=5.16)， 6 。5 已知函数的数据表为1231.21.51.6用复化梯形公式计算_ 2.9 ，用Simpson公式计算_2.93 。6设Givens矩阵满足， 则，。注：此题不唯一。二（10分）把Newton迭代法用于 求根。（1） 写出计算的不含除法运算的迭代公式；（2） 求该迭代公式的局部收敛速度；（3） 证明该算法收敛的充要条件是初值。【解】(1) 迭代公式：(2) ，局部收敛速度为2阶。(3) 记，则从而递推因此三（15分） 给定线性方程组（为实数）。（1） 写出求解上述方程组的Gauss-Seidel迭代格式；（2） 确定的取值范围使Gauss-Seidel迭代法收敛；（3） 为何值时收敛最快？【解】(1) Gauss-Seidel迭代格式为(2) Gauss-Seidel迭代矩阵为（或由求解）Gauss-Seide迭代法收敛，即满足。(3) 当的谱半径为0时，即收敛最快。四（10分）根据下面数据求二次最小二乘拟合多项式，并求平方误差。【解】设所求的二次多项式为，即，则，故，因此，法方程组为解得 从而得到二次最小二乘拟合多项式平方误差为(或利用简单一点的公式)五（10分） （1） 证明下面求积公式为Gauss求积公式（2） 利用上述公式求积分的近似值（只需写出计算表达式）。【解】(1) 求积公式为两点公式，如有3次代数精度，则为Gauss公式。对，左端，右端左端对，左端，右端左端对，左端，右端左端对，左端，右端左端所以求积公式为Gauss求积公式。或(2) 令，则或结果一样注：（1）做法还可以由已知的Gauss公式互化。（2）也可化为-1，1的积分等。六（10分） 确定下面2级R-K法中的参数，使其成为2阶方法。【解】 （说明：下面记号均代表精确值） ，局部截断误差为将，泰勒展式代入上式，得（此处再加一步）令公式具有二阶精度。七（15分）下面两题任选一题1 设，（1）对作列主元的分解：；（2）用列主元素法求解线性方程组。2 确定参数，使得积分取得最小值，并求该最小值。【解】(1) 解得解得(2) 本题是求，关于权函数的二次最佳平方逼近多项式
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