概率论与数理统计练习试卷.doc

试卷一一、选择题（本题共5小题，每小题分, 共15分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在下面的表格内）1设，则下面正确的等式是(A) ； (B) ；(C) ； (D)2.有个球，随机地放在个盒子中（），则某指定的个盒子中各有一球的概率为(A) (B) (C) (D) 3.设随机变量的概率密度为，则c(A) (B)0 (C) (D)14.掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为(A) 50 （B）100 (C) 120 （D）1505.设总体在上服从均匀分布，则参数的矩估计量为(A) (B) (C) (D) 二、填空题(本题共5小题, 每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.)6.已知,且与相互独立，则 3/7 7.设随机变量服从参数为的泊松分布，且，则 8设随机变量，则概率0.8446 .9.已知，且和相互独立，则 6 10设（）是来自正态分布的样本，当1/3时， 服从分布，2三、判断题(本题共7小题, 每小题分, 共14分.把答案填在下面的表格内,正确的填“”，错误的填“题号11121314151617答案11设,为随机事件，则与是互不相容的. 12是正态随机变量的分布函数，则.13连续随机变量的密度函数与其分布函数未必相互惟一确定. 14等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. 15样本均值的平方不是总体期望平方的无偏估计. 16在给定的置信度下，被估参数的置信区间不一定惟一. 17在假设检验中，显著性水平是指(拒绝为假). 四、解答题(本题共小题，满分48分，解答应写出文字说明和演算步骤.)18.(本题满分6分) 某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率解：19 (本题满分8分) 设某种电子元件的寿命服从正态分布N（40，100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率（，）解：, 令，则.因此 .20(本题满分10分) 在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于”的概率解：, 所以 故 .21(本题满分6分) 一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数的期望和方差解：，.22(本题满分8分) 从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差（解： ，而 ，故 ， ，.23(本题满分10分) 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程（，）解： ，设，则，故拒绝域为,即.由于不在拒绝域内，故接受，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.五、证明题(本题共2小题，满分8分，解答应写出证明过程和演算步骤.)24. (本题满分4分)设是两个随机事件，且,证明：与相互独立证明： ，所以 .25. (本题满分4分)设总体服从参数为的泊松分布，是X的简单随机样本，试证：是的无偏估计证明：，故，因此是的无偏估计.试卷二一、选择题（本题共5小题，每小题分, 共15分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在下面的表格内）题号12345答案BABDC1.已知事件满足，且，则 （A）0.4， （B）0.5， （C）0.6， （D）0.72离散型随机变量的概率分布为()的充要条件是。(A）且； (B)且； (C) 且； (D) 且.3设个电子管的寿命()独立同分布，且()，则个电子管的平均寿命的方差.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .4设为总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则有(A)； (B)；(C)； (D).5设为总体(已知)的一个样本，为样本均值，则在总体方差的下列估计量中，为无偏估计量的是。(A)； (B)；(C)； (D).二、填空题(本题共5小题, 每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.)6设随机事件,互不相容，且，则4/7 .7设随机变量服从上的均匀分布，则随机变量的概率密度函数为8.设,且，则 0.3 9设随机变量的联合分布律为 若，则 0.1.10.设是从中抽取容量为16的样本方差，则 2/1511设某种清漆干燥时间（单位：小时），取的样本，得样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为：上限为 6.356.三、判断题(本题共小题, 每小题分, 共16分.把答案填在下面的表格内,正确的填“”，错误的填“”.)题号121314151617答案12设，则随机事件与任何随机事件一定相互独立. 13若随机变量与独立，它们取1与的概率均为，则. 14设有分布律：，则的期望存在. 15设随机变量序列相互独立，且均服从参数为的指数分布，则依概率收敛于. 16区间估计的置信度的提高会降低区间估计的精确度. 17在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设而确定的. 四、解答题(本题共小题，满分60分，解答应写出文字说明和演算步骤.)18某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.解：任取2箱都是民用口罩，：丢失的一箱为k 分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花. 19 设随机变量的联合密度函数 求 (1) 常数A ; (2) 条件密度函数; (3) 讨论与的相关性.解：(1) (2) 当时，(3) 所以与不相关.20设随机变量(均匀分布)，(指数分布)，且它们相互独立，试求的密度函数.解：得z轴上的分界点与21某彩电公司每月生产20万台背投彩电，次品率为0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为0.01. 试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率.解：设 , 经检验后的次品数 ， 由中心极限定理，近似地有 22设总体的概率分布列为： 0 1 2 3 p2 2 p(1-p) p2 1-2p其中 () 是未知参数. 利用总体的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 .解：(1) ， 令 ， 得 的矩估计为 .(2) 似然函数为 令 ， . 由 ，故舍去所以的极大似然估计值为 23某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为 12690C 12710C 12630C 12650C设数据服从正态分布，以 % 的水平作如下检验：(1) 这些结果是否符合于公布的数字12600C？(2) 测定值的标准差是否不超过20C？ 须详细写出检验过程.解：由样本得 ， . (1) 要检验的假设为 检验用的统计量 ， 拒绝域为 . ，落在拒绝域内，故拒绝原假设，即不能认为结果符合公布的数字12600C. (2) 要检验的假设为 检验用的统计量 ， 拒绝域为 ,落在拒绝域内，故拒绝原假设，即不能认为测定值的标准差不超过20C. 五、证明题(本题共1小题，满分10分，解答应写出证明过程和演算步骤.)24设随机变量与相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，证明仍服从泊松分布，参数为6.证明：由题设 ， ， 所以 仍服从泊松分布，参数为6. 试卷三得分评卷人一、选择题（本题共8小题，每小题分, 共24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在下面的表格内）题号12345678答案ABCBDCBC1 设为任意三各随机事件，则下列命题正确的是 2下列数组中可以作为离散型随机变量的分布列的有(为任意实数) 3设连续型随机变量的密度函数有，是的分布函数，则下列成立的有 4设和分别来自两个相互独立的正态总体和的样本, 和分别是其样本方差，则下列服从的统计量是 5设总体，为抽取样本，则是的无偏估计 的无偏估计 的矩估计 的矩估计设两独立随机变量，则服从 7有人打靶击中的概率为，求他打了枪，直到第十枪击中的概率为（ ） 8设总体的数学期望为，方差为，是的一个样本，则在下述的个估计量中，（）是最优的 (A) (B) (C) (D) 得分评卷人二、填空题(本题共小题, 每小题分, 共16分.把答案填在题中横线上.)9一个产品须经过两道工序，每道工序产生次品的概率分别为和，则一个产品出厂后是次品的概率为 0.44 10设随机变量的密度函数为 ，则 3 11已知，则的标准差为 3 12已知，服从标准正态，与相互独立，则 0.5 13设，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体中抽取的样本，则的矩估计值为 1.71 14设，是从总体中抽取的样本，求的矩估计为15已知，则 0.5 16电路元件与两个并联的元件串联而成，若、损坏与否是相互独立的，且他们损坏的概率依次为，则电路断路的概率为 0.314 得分评卷人三、判断题(本题共小题, 每小题分, 共16分.把答案填在下面的表格内,正确的填“”，错误的填“”.)题号1718192021222324答案17随机事件，则与相互独立. 18随机变量的分布函数，则. 19分布的边缘分布仍是均匀分布20与相互独立且都服从指数分布，则21与相互独立的必要而非充分的条件. 22的平方是总体期望平方的无偏估计23设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设而确定的. 24若与都是标准正态随机变量，则. 四、解答题(本题共小题，满分44分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.)得分评卷人25(本题满分8分)已知一批产品中，合格品占90%，检查时一个合格品被认为是次品的概率为0.02，而一个次品被认为是合格品的概率为0.05，现在任取一件检查，求该产品被认为是合格品的概率解：=产品被认为是合格品 ，=产品是合格品 ，=产品不是合格品=264只晶体管，其中3只是正品，1只是次品从中随机地一只一只取出做测试，取出后不放回，直到次品被测试出为止表示测试的次数，求其分布列和分布函数解： 1 2 3 4 p 0.25 0.25 0.25 27机变量X在区间1，6上服从均匀分布，现在对进行3次独立观察，求这3次观察中至少有两次观察值大于4的概率解：的密度函数为： 一次观察中观察值大于4的概率为： 在三次观察中至少有两次观察值大于4的概率为： 28某高校去年大学生中拥有手机的比率为45%，现对400名学生调查其拥有手机情况，发现其中有196名发现其中有196名学生拥有手机试在水平下检验拥有手机的学生比率是否有显著增加（，）解： 统计量 近似服从 将代入计算得： ，所以接受原假设，认为拥有手机的学生的比率没有显著增加29维随机变量的联合密度函数为： 求：（1） 参数；（2）和的边缘分布并判断和是否独立；（3）解：（1） （2） 所以和独立；（3）=30 随机变量服从参数为的指数分布，设是子样观察值，求的极大似然估计和矩估计解：设是子样观察值，极大似然估计： 矩估计：样本的一阶原点矩为：所以有：31生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 已知原来直径服从，求：该天生产的滚珠直径的置信区间给定（，）解：这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为： 由题得： 代入即得：所以为：32生产的某种螺栓的长度(单位：mm)服从正态分布,螺栓的长度超出范围20（mm）为不合格品,若记标准正态分布函数为,且已知:, 求:（1）生产一只螺栓为合格品的概率；（2）生产100只这样的螺栓,其中的合格品数记为,求解：（1） （2）， ， 试卷四一、选择题（本题共8小题，每小题分, 共24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在下面的表格内）题号12345678答案ADBCDCCA1. 设每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第次才取得 次成功的概率为. (A) ; (B) ;(C) ; (D).2. 离散随机变量的分布函数为，且，则 . (A) ； (B) ； (C) ； (D) .3. 设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数. (A) 是连续函数； (B)恰好有一个间断点；(C) 是阶梯函数； (D)至少有两个间断点.4. 设随机变量的方差相关系数则方差 (A) 40； (B) 34； (C) 25.6； (D) 17.6 .5. 设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是. (A) ； (B) ；(C) ； (D) 6设随机变量，对给定的，数满足. 若，则.(A) (B)； (C) ； (D).7. 在为原假设，为备择假设的假设检验中，若显著性水平为，则(A); (B) (C) ; (D) 8设随机变量独立同分布，且方差为.令，则.(A) ； (B) ； (C) ； (D) 得分评卷人二、填空题(本题共小题, 每小题分, 共16分.把答案填在题中横线上.)9. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为19/396.10. 设连续随机变量的密度函数为，则随机变量的概率密度函数为 . 11. 设为总体中抽取的样本()的均值, 则 0.9772 . . 12. 设二维随机变量的联合密度函数为 则条件密度函数为当时 . 13. 设, 则随机变量服从的分布为( 需写出自由度 ) . 14. 设某种保险丝熔化时间（单位：秒），取的样本，得样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为 15.263 . 15. 设的分布律为 1 2 3 已知一个样本值，则参数的极大似然估计值为 5 / 6 .16. 设，设，则其数学期望4.2.得分评卷人三、判断题(本题共小题, 每小题分, 共16分.把答案填在下面的表格内,正确的填“”，错误的填“”.)题号1718192021答案17. 在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件. 18连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定. 19若随机变量与独立，且都服从的 (0，1) 分布，则. 20设为离散型随机变量, 且存在正数k使得，则的数学期望未必存在. 21在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少. 四、解答题(本题共小题，满分44分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.)得分评卷人22(本题满分8分) 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率. 解：被查后认为是合格品的事件，：抽查的产品为合格品的事件. ， 23设随机变量与相互独立，分别服从参数为的指数分布，试求的密度函数. 解一 时， ，从而 ；时，所以解二： 时， ； 时， 所以 解三：设 随机变量的联合密度为所以 .24某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 解：设 为第i周的销售量, ， 则一年的销售量为 ，, . 由独立同分布的中心极限定理，所求概率为 . 25（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力（单位：kg）. 已知 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值 kg. 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （） （2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布. 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用作假设检验. 解：(1) 要检验的假设为 检验用的统计量 ， 拒绝域为 . ，落在拒绝域内，故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg . (2) 要检验的假设为 检验用的统计量 ， 拒绝域为 或 ， , 落在拒绝域内，故拒绝原假设，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . 五、证明题(本题共小题，满分44分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.)26设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机变量与相互独立.证一： 由题设知 0 1 0 1 2 ； ； ； ； ； . 所以 与相互独立. 证二 由题设可得与的联合分布 0 1 2 0 1 联合概率矩阵中任两行或两列元素对应成比例，故概率矩阵的秩等于1，所以 与相互独立. 试卷五一、选择题（本题共8小题，每小题分, 共16分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在下面的表格内）题号12345678答案DADCBBBB1. 设连续随机变量的密度函数满足，是的分布函数，则(A) (B)(C) (D).2. 设二维随机变量服从上的均匀分布，的区域由曲线与所围，则的联合概率密度函数为.； ； ； .3. 设，则方差.(A)； (B)； (C)； (D).4. 设总体，是来自总体的样本，为样本均值，则 .(A) ； (B)；(C) ； (D).5. 设总体，为未知参数，样本的方差为，对假设检验，水平为的拒绝域是.(A)； (B)； (C)； (D).6. 设随机变量相互独立，,，则.(A)； (B)；(C)； (D).7. 设是来自正态总体的一个简单随机样本，分别为样本均值与样本方差，则 .(A) ； (B)；(C)； (D).8掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为(A）50 （B）100 （C）120 （D）150得分评卷人二、填空题(本题共小题, 每小题分, 共16分.把答案填在题中横线上.)9设为两随机事件，已知，则0.5.10设随机变量，则的数学期望为0.331.11随机变量相互独立且服从同一分布，则.12随机变量，已知则7 / 8.13设总体，为未知参数，则的置信度为的置信区间为.14设是来自正态总体的一个简单随机样本，服从分布（须写出自由度）.15设随机变量，由切比雪夫不等式知，概率的取值区间为 与 0.25 之间.16设是来自总体分布的样本，是样本均值，则 ， .得分评卷人三、判断题(本题共5小题, 每小题分, 共10分.把答案填在下面的表格内,正确的填“”，错误的填“”.)题号1718192021答案17. 设样本空间为 ，则 18设 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的次数为X, 则 4 n 次独立重复试验中，A出现的次数为 4 X. 19二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. 20若随机变量 X 的数学期望存在，则X 的方差也存在. 21样本二阶中心矩不是总体方差的无偏估计. 四、解答题(本题共小题，满分44分，解答应写出文字说明、证明过