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线性代数第一章n阶行列式 第一节二阶和三阶行列式 第二节n阶行列式定义及性质 第三节n阶行列式的计算 第四节克莱姆法则 第一节二阶和三阶行列式 线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式 一 行列式的引进 线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式 线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式 由二阶行列式的定义 可将前述二元线性方程组的解写为 线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式 定义2 九个数排成三行三列的方形数表 加上记号 表示一个三阶行列式 三阶行列式值的计算可按图示 对角线法则 来记忆 线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式 线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式 线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式 二 行列式的性质 以下主要针对三阶行列式 二阶完全类似 性质1将行列式的行列互换 行列式转置 行列式值不变 称这两个行列式互为转置行列式 性质2行列式任意两行 列 互换 行列式值反号 推论若行列式两行 列 相同 则行列式值为0 线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式 性质3若行列式某一行有公因子k 则k可提到行列式号外 推论行列式有一行 列 元素均为0 则行列式为0 推论行列式有两行 列 元素成比例 则行列式为0 线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式 性质4行列式某一行 列 的元素可以表示成两项之和 则该行列式可写成两个行列式之和 性质5将行列式一行 列 的倍数加到另一行 列 上 行列式值不变 线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式 三 行列式按行 列 展开定理 定理1三阶行列式值等于其任一行 或列 的元素与其代数余子式乘积之和 线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式 第二节n阶行列式的定义及性质 线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质 定义1 由自然数1 2 n组成的一个有序数组称为一个n阶排列 一 n阶排列 注 排列 1 2 n 的逆序数为0 称之为自然排列 线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质 定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的称为偶排列 线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质 定义4 在一个排列中 把其中两个数的位置互换 其余数位置不动 这样的变换称为对换 定理1任一排列经一次对换 必改变其奇偶性 推论2任一n阶排列均可通过若干次对换变为自然排列 并且所做的对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性一致 线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质 二 n阶行列式的定义 三阶行列式的定义 线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质 n阶行列式的完全展开式 线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质 线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质 线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质 二 n阶行列式的性质 性质1将行列式的行列互换 行列式值不变 性质2行列式任意两行 列 互换 行列式值变号 推论行列式若两行 列 相等 行列式值为0 性质3行列式某一行 列 有公因子k 则k可提到行列式号外 推论行列式有一行 列 元素均为0 则行列式值为0 推论行列式有二行 列 元素成比例 则行列式值为0 线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质 性质5行列式一行 列 的倍数加到另一行 列 上 行列式值不变 性质4如果行列式第i行 列 n个元素可表为两项之和 那么行列式可写为两个行列式之和 注 以上各性质及推论与二 三阶行列式完全相同 但是证明方法不同 线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质 例3 证明奇数阶反对称行列式的值为0 第三节n阶行列式的计算 线性代数第一章n阶行列式第3节n阶行列式的计算 一 利用行列式性质计算行列式 例1 计算下列行列式 线性代数第一章n阶行列式第3节n阶行列式的计算 二 n阶行列式的展开 线性代数第一章n阶行列式第3节n阶行列式的计算 线性代数第一章n阶行列式第3节n阶行列式的计算 线性代数第一章n阶行列式第3节n阶行列式的计算 线性代数第一章n阶行列式第3节n阶行列式的计算 线性代数第一章n阶行列式第3节n阶行列式的计算 例3 计算下列行列式的值 线性代数第一章n阶行列式第3节n阶行列式的计算 三 数学归纳法在行列式计算中的应用 线性代数第一章n阶行列式第3节n阶行列式的计算 第四节克莱姆 Cramer 法则 线性代数第一章n