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第五节点集间的距离 第二章n维空间中的点集 点集间的距离定义 b 若 则d A B 0 反之则不一定成立 如A 1 0 B 0 1 注 a 若x B 则d x B 0 反之则不一定成立 如x 0 B 0 1 证明 利用d x E d x z d x y d y z z E 例1设E为Rn中非空点集 则d x E 是Rn上关于x的一致连续函数 所以d x E 是Rn上关于x的一致连续函数 可得d x E d x y d y E 同理d y E d x y d x E 故有 d x E d y E d x y 定理 设A为非空有界闭集 x Rn 则必有y A 使得d x y d x A 闭集 与E紧挨的点不跑到E外 也即E外的点与E不可能紧挨 证明 由可得 定理1 设A B为非空闭集 且A有界 则必有x A y B 使得d x y d A B 由于A有界 故 证明 由 又B为闭集 故y B 另外对两边关于j取极限得d x y d A B 又A为闭集 从而x A 并可得 yni 有界因为当ni充分大时 d x yni d x xni d xni yni 1 d A B 1 ni 例2 设F1 F2为Rn中两个互不相交的非空闭集 则存在Rn上的连续函数f x 使得 1 0 f x 1 x Rn 2 f x 0 x F1 f x 1 x F2 例3 每个闭集必是可数个开集的交 每个开集必是可数个闭集的并 证明 设E为闭集 取则Gn为开集 1 n 再由E为闭集 可得x E从而每个闭集必是可数
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