2018版高中数学_第二章 概率 习题课 离散型随机变量的方差与标准差课件 苏教版选修2-3

习题课离散型随机变量的方差与标准差 第2章概率 学习目标1 进一步理解离散型随机变量的方差的概念 2 熟练应用公式及性质求随机变量的方差 3 体会均值和方差在决策中的应用 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 1 方差 标准差的定义及方差的性质 1 方差及标准差的定义 设离散型随机变量X的概率分布为 方差V X x1 2p1 x2 2p2 xn 2pn 其中 E X 标准差为 2 方差的性质 V aX b a2V X 2 两个常见分布的方差 1 两点分布 若X 0 1分布 则V X 2 二项分布 若X B n p 则V X p 1 p np 1 p 题型探究 例1一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的 并且概率是 1 求这位司机遇到红灯数 的均值与方差 解易知司机遇上红灯次数 服从二项分布 解答 类型一二项分布的方差问题 2 若遇上红灯 则需等待30s 求司机总共等待时间 的均值与方差 解由已知 30 故E 30E 60 V 900V 1200 解答 解决此类问题的第一步是判断随机变量服从什么分布 第二步代入相应的公式求解 若它服从两点分布 则方差为p 1 p 若它服从二项发布 则方差为np 1 p 反思与感悟 跟踪训练1在某地举办的射击比赛中 规定每位射手射击10次 每次一发 记分的规则为 击中目标一次得3分 未击中目标得0分 并且凡参赛的射手一律另加2分 已知射手小李击中目标的概率为0 8 求小李在比赛中得分的均值与方差 解用 表示小李击中目标的次数 表示他的得分 则由题意知 B 10 0 8 3 2 因为E 10 0 8 8 V 10 0 8 0 2 1 6 所以E E 3 2 3E 2 3 8 2 26 V V 3 2 32 V 9 1 6 14 4 解答 例2某投资公司在2017年年初准备将1000万元投资到 低碳 项目上 现有两个项目供选择 项目一 新能源汽车 据市场调研 投资到该项目上 到年底可能获利30 也可能亏损15 且这两种情况发生的概率为项目二 通信设备 据市场调研 投资到该项目上 到年底可能获利50 可能亏损30 也可能不赔不赚 且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目 请你为投资公司选择一个合理的项目 并说明理由 类型二均值 方差在决策中的应用 解答 解若按项目一投资 设获利X1万元 则X1的概率分布如下表 35000 若按项目二投资 设获利X2万元 则X2的概率分布如下表 E X1 E X2 V X1 V X2 这说明虽然项目一 项目二获利相等 但项目一更稳妥 综上所述 建议该投资公司选择项目一投资 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平 而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 因此在实际决策问题中 需先运算均值 看一下谁的平均水平高 然后再计算方差 分析一下谁的水平发挥相对稳定 当然不同的模型要求不同 应视情况而定 反思与感悟 跟踪训练2已知甲 乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6 且甲射中10 9 8 7环的概率分别为0 5 3a a 0 1 乙射中10 9 8环的概率分别为0 3 0 3 0 2 记甲射中的环数为 乙射中的环数为 1 求 的概率分布 解答 解依据题意知 0 5 3a a 0 1 1 解得a 0 1 乙射中10 9 8环的概率分别为0 3 0 3 0 2 乙射中7环的概率为1 0 3 0 3 0 2 0 2 的概率分布分别为 2 求 的均值与方差 并以此比较甲 乙的射击技术 解结合 1 中 的概率分布 可得E 10 0 5 9 0 3 8 0 1 7 0 1 9 2 E 10 0 3 9 0 3 8 0 2 7 0 2 8 7 V 10 9 2 2 0 5 9 9 2 2 0 3 8 9 2 2 0 1 7 9 2 2 0 1 0 96 V 10 8 7 2 0 3 9 8 7 2 0 3 8 8 7 2 0 2 7 8 7 2 0 2 1 21 E E 说明甲平均射中的环数比乙高 又 V V 说明甲射中的环数比乙集中 比较稳定 甲的射击技术好 解答 当堂训练 1 设一随机试验的结果只有A和且P A m 令随机变量 则 的方差V 答案 2 3 4 1 解析 解析随机变量 的概率分布为 m 1 m E 0 1 m 1 m m V 0 m 2 1 m 1 m 2 m m 1 m 2 已知随机变量X Y 8 若X B 10 0 6 则E Y V Y 分别是 答案 2 3 4 1 解析 解析由已知随机变量X Y 8 所以Y 8 X 因此 求得E Y 8 E X 8 10 0 6 2 V Y 1 2V X 10 0 6 0 4 2 4 2 2 4 若E 则V 的值为 3 已知随机变量 的概率分布为 答案 2 3 4 1 解析 2 3 4 1 4 有两台自动包装机甲与乙 包装质量分别为随机变量X Y 已知E X E Y V X V Y 则自动包装机 的质量较好 填 甲 或 乙 答案 2 3 4 1 解析 解析在均值相等的情况下 方差越小 说明包装的质量越稳定 所以自动包装机乙的质量较好 乙 规律与方法 1 已知随机变量X的均值 方差 求X的线性函数y aX b的均值和方差 可直接用X的均值 方差的性质求解 即E aX b aE X b V aX b