2018年高中数学_第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念课件3 新人教b版选修2-1

第二章圆锥曲线与方程 用垂直于圆锥的轴平面截圆锥 截口曲线是 圆 改变平面与圆锥轴线的夹角得到的图形是什么 圆 椭圆 双曲线 抛物线统称为圆锥曲线 行星绕太阳运行轨道是椭圆 探照灯反射镜面是抛物线绕对称轴旋转形成抛物面 发电厂冷却塔外形是双曲线 曲线与方程 解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线问题 即通过建立坐标系 利用平面内点和有序数对之间一一对应关系 建立曲线方程 并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质 用坐标法研究几何图形是解析几何思想的精髓 圆锥曲线发现与研究始于古希腊 当时人们从纯几何学观点研究这种与圆密切相关的曲线 它们的几何性质是圆的几何性质推广 17世纪初期 笛卡儿发明了坐标系 开始用代数方法研究圆锥曲线 例1 1 画出两坐标轴所成的角在第一 三象限的平分线l 并写出方程 2 画出函数y 2x2 1 x 2 的图像C 观察思考符合某种条件的点的集合l和C分别与其方程是怎样联系起来的 曲线的方程 与 方程的曲线 图形 定义 一般地 在直角坐标系中 如果某曲线C上的点与一个二元方程f x y 0的解建立如下关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 那么这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫方程的曲线 练习举3个例子 每个例子画一条曲线 写一个方程 第一个例子满足定义中两个条件 第二个例子满足定义中 1 不满足 2 第三个例子满足定义中的 2 不满足 1 例2证明与两条坐标轴的距离的积是常数k k 0 的点的轨迹方程是xy k 证明 1 如图设M x0 y0 是轨迹上任意一点 点M与x轴的距离为 y0 与y轴的距离为 x0 x0 y0 k 即 x0 y0 是方程xy k的解 2 设点M1的坐标 x1 y1 是方程xy k的解 则x1y1 k 即 x y k 而 x1 y1 是点M1到y轴 x轴的距离 因此点M1到这两条直线距离积是常数k 点M1是曲线上的点 由 1 2 知 xy k是与两条坐标轴距离的积为常数k k 0 的点的轨迹方程 归纳证明已知曲线C的方程是f x y 0方法和步骤 1 设M x0 y0 是曲线C上任一点 证明 x0 y0 是f x y 0的解 2 设 x0 y0 是f x y 0的解 证明点M x0 y0 在曲线C上 最后不要忘了归纳总结 例2求曲线y x2关于直线y x的对称图形的方程 例3求曲线y x3 x关于点 1 2 的对称曲线的方程 求曲线方程步骤 1 建立适当坐标系 设点M的坐标 x y 2 写出适合条件P的点M的集合P M p M 3 用坐标表示条件p M 列出方程f x y 0 4 化方程f x y 0为最简形式 5 说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 注化简前后方程解集是相同的 5 可以省略不写 如有特殊情况 适当说明 归纳证明已知曲线C的方程是f x y 0方法和步骤 1 设M x0 y0 是曲线C上任一点 证明 x0 y0 是f x y 0的解 2 设 x0 y0 是f x y 0的解 证明点M x0 y0 在曲线C上 最后不要忘了归纳总结 练习 1 如果曲线C上的点满足方程F x y 0 则以下说法正确的是 A 曲线C的方程是F x y 0B 方程F x y 0的曲线是CC 坐标满足方程F x y 0的点在曲线C上D 坐标不满足方程F x y 0的点不在曲线C上 2 判断下列结论的正误 并说明理由 1 过点A 3 0 且垂直于y轴的直线的方程为y 0 2 到x轴距离为2的点的直线方程为y 2 3 ABC的顶点A 0 3 B 1 0 C 1 0 D为BC中点 则中线AD的方程为x 0 D 3 方程 3x 4y 12 log2 x 2y 3 0的曲线经过点A 0 3 B 0 4 C D 4 0 中的 A 0个B 1个C 2个D 3个 4 如果两条曲线的方程F1 x y 0和F2 x y 0 它们的交点M x0 y0 求证 方程F1 x y F2 x y 0表示的曲线也经过M点 为任意常数 分析 只要将M点的坐标代入方程 F1 x y F2 x y 0 看点M的坐标是否满足方程即可 B 小结 1 曲线的方程 方程的曲线 的定义 牢记关系 1 2 两者缺一不可 它们都是 曲线的方程 和 方程的曲线 的必要条件 两者满足了 曲线的方程 和 方程的曲线 才具备充分性 2 曲线的研究转化为方程来研究 即几何问题的研究转化为代数问题 这种 以数论形 的思想是解析几何的基本思想和基本方法 补充 证明动点P x y 到定点M a 0 的距离等于a a 0 的轨迹方程是 作业 P40习题2 1第1 2题 例3设A B两点的坐标分别是 1 1 3 7 求线段AB的垂直平分线的方程 解 1 设点M x y 是线段AB的垂直平分线上任一点 即 2 点M属于集合P M MA MB 3 点M适合条件用坐标表示为 4 上式两边平方整理得x 2y 7 0 5 下面证明方程 是线段AB的垂直平分线的方程 思考如何证明方程 是线段AB的垂直平分线的方程 思考如何根据已知条件求出表示曲线的方程 例4已知一条直线l和它上方的一个点F 点F到l的距离是2 一条曲线也在l的上方 它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2 建立适当坐标系 求这条曲线得方程 分析如何建立坐标系 解取直线l为x轴 过点F且垂直于直线l