2012数学建模B题解答.doc

一 问题重述辐射井是由一大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到竖井中。辐射井出水量较普通管井、筒井及大口井的高出数至十倍以上，具有较强的取水能力。由于其辐射管水平伸入含水层达数十至上百米以上，其水位下降范围大，降速快，具有良好的排水效益，被广泛应用于地基施工降水、尾矿坝排水等工程领域。经过多年的应用和发展，辐射井在成井技术方面已逐渐成熟。然而，长期以来，对辐射井井流计算理论却滞后于辐射井成井技术的发展，使该项技术的进一步应用受到极大的阻碍。由于辐射井结构的特殊性，地下水运动系三维流，因而其渗流计算不能随意套用其它水井的计算公式。在实际工程中，采用辐射井作为基础工程降水施工、农田地下水人工调控，均需考虑辐射井水位降深计算问题。然而，目前多按抽水试验建立一些经验公式来近似计算辐射井的出水量，难以求解辐射井的降落曲线。这一重大理论和实际问题，因其研究不够，长期未获得满意解决，至今尚未建立系统完整的辐射井取水和降水的水量计算理论。在下列假定条件下：潜水含水层均质各向同性，隔水底板水平，在平面上无限分布；不考虑水和介质骨架的压缩性；潜水完整井，无越流补给也无入渗或蒸发。要求依据黄土地区测得的实验数据（见后图1、2、3及表1）：1. 设计构造黄土地区辐射井的地下水降落曲线的数学模型；1. 分析黄土地区地下水位降深与出水量的关系，建立造黄土地区辐射井的水量计算公式。二 问题分析1.研究辐射井的地下水降落曲线和辐射井水量计算的数学模型。首先要明确影响辐射井水量计算的可能存在因素：辐射管数量、长度和分布、水位下降时间、渗透系数、孔隙比、井水的种类、地下水的流态等等，其中辐射管数量、长度和分布、渗透系数、孔隙比、井水种类等因素题中已经给出了确切的数据和限定，使我们在构造辐射井地下水降落曲线数学公式和计算水量的过程中可以直接应用2.辐射井的地下水降落曲线即辐射流的流动特征地下水在天然流动过程中，以层流和缓变流的形式运动，已无争议。但是，地下水向集水井辐射流动过程中，由于渗透流场内的水力坡度和渗透速度增大，地下水辐射流是否还保持层流和缓变流的运动形式，迄今仍有较大的分歧，根据孔隙含水层和裂隙含水层中大量抽水试验资料的分析研究，初步证实，在抽水井作用酌汇点辐射流场内，除井壁附近地下水可能有层流转化为混合流或紊流以及出现明显的空间留动特征外，在广大降落漏斗的范围内仍基本保持层流宇缓变流的运动形式。 3.辐射井出水量的计算依据经验公式对潜水井出水量方程进行推导并求出涌水量的计算公式，并且参考实际水利工作中总结得到的经验公式加以修正，最终给出出水量计算公式。三 条件假设与符号说明3.1条件的假设（1）潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限不考虑水和介质骨架的压缩性；（2）潜水完整井，无越流补给，也无入渗或蒸发；（3）垂直方向的渗透性远大于水平方向的渗透性；（4）地下水处于稳定流动状态；（5）地下水成层流运动，遵循达尔西直线渗透定律；（6）地下水为缓变流，可将空间流简化为平面流；（7）假定静水位是水平的，降落漏斗的供水边界是圆形的；3.2符号的说明符号符号说明距集水井中心的水平距离为x处得横剖面水位平均高度（米）集水井中水面的高度（米）辐射管端点的水位高度（米）反映降落曲线弯曲程度的经验数值辐射管端点距井中心的水平距离（米）集水井的半径（米）距离水井较远的一个观测孔的水平距（米）距集水井较近的一个观测孔的水平距（米）距离为的观测孔中测得的水位高度（米）距离为的观测孔中测得的水位高度（米） 井壁处的水位高度（米）辐射井的出水量（米小时）n辐射孔（管）的根数k黄土含水层的渗透系数（米小时）局部阻抗系数相邻两根辐射孔（管）之间的夹角（度）d辐射孔（管）的直径（米）辐射孔（管）中心的高度（米）四辐射井模型的建立与解答4.1 对辐射井工作状况纵剖面图和测得的实验数据的分析据图形可以很明显的看出：辐射井的工作状况与普通筒井有很大不同。就地下水降落曲线看，一般筒井影响范围内,地下水降落曲线呈上凸的抛物线，近井处水力坡度很陡，远井逐渐变平缓，在井壁处往往有明显的水跃发生。而辐射井在水平辐射管延伸范围内，降落曲线与筒井刚好相反，近井处水力坡度平缓，远处陡峭，呈下凹曲线，井壁处几乎不发生水跃。在辐射管的端点处，水力坡度陡增，并出现凸凹拐点。在辐射管延伸范围以外，降落曲线改变成上凸的抛物线，水力坡度由陡变缓，与普通井一致。由于黄土垂直方向的渗透系数比水平方向大若干倍，加上辐射管的水平位置的影响，黄土地含水层的地下水基本是沿着垂直方向进入辐射管。当地下水位由于抽水下降时，这一现象在水平集水管延伸范围内尤为明显。此时，大部分水量由辐射管截取后，通过管道汇入集水井，而通过集水井井壁和辐射管端点外侧流进的水量，则占很少比例。为方便计算，可以只考虑沿垂直方向流入辐射管的水量。辐射管汇集水量的大小与降落曲线高度, 基本上成正比例的关系。管中水流, 由于有压管流, 其水头沿程变化相对很小, 可视为相当于井水位的一个固定值。分析实测的辐射井降落曲线资料可以得出, 高度与距离之间近似地呈自然对数的函数关系，并且随集水井中水面的高度的变化而变化。为了比较直观的反应辐射井地下水降落曲线的变化过程，更加方便的建立辐射井地下水降落曲线的数学模型，现将抽水过程中主要观测孔（井）水位变换表转换为图形，如下所示： 同样：我们很明显的看到，从开始抽水与地下水达到动态平衡阶段，辐射井的地下水降落曲线不仅与到实验井的水平距离、水头高度等有关，而且随着时间的变化发生实质性的改变，不管试验井还是观测井的水位，都是先减少会稍微回升最后稳定于某一水平，且距集水井越近这种变化越明显，当距离超出辐射管的长度区域变化不大即基本上是稳定的状态。所以就很有必要在抽水过程中对地下水的状态进行判定即是稳定状态还是非稳定状态。4.1.1 抽水过程中地下水的状态的划分：稳定与非稳定划分标准：对抽水过程进行细致的研究，不难发现不管试验井还是观测井的水位，都是先减少会稍微回升最后稳定于某一水平。这是由于抽水初期，试验井中水位大幅度减少，而周围潜水含水层的地下水由于土质及其他阻力并不能及时补充，称为非稳定阶段；随后，地下水补给与试验井抽水达到动态平衡，水位趋于稳定，称为稳定阶段。目前对判断抽水井地下水流的相对稳定状态的标准尚不统一。以往一般都应用水位流量的波动差作为衡量稳定标准。对相对稳定之允许误差范围，常用的有以下几种：1.采用离心泵抽水时，水位波动差在稳定延续时间内超过过25厘米；用深井泵是为510厘米；2.流量波动差在稳定延续时间内，不超过35%；3.观测孔水位波动差不超过23厘米。计算水位、流量波动误差，常采用以下两种方法： 但经我们分析发现上述衡量稳定性的标准存在缺点，如：对水位波动差只考虑绝对值是不全面的、采用最大值或最小值不合理会出现偶然误差等，于是我们将公式修正如下：当波动差在0.2%0.3%认为地下水达到稳定4.1.2 划分理论依据：滞留作用在潜水井的抽水试验中，可以观察到抽水孔的水位下降并不会立即引起观测孔的水位下降，即渗流场中水头压力传递具有一定的迟滞过程，它与含水层骨架介质特征、水的性质及水头差等有关。这种地下水在含水层中运动时由于地层阻力等作用，致使水位变化的传递迟滞，不能立即波及各处而逐步扩展的现象，称之为“滞留现象”，而把造成这种现象的地层阻力等机制作用，称之为“滞留作用”。由于含水层的阻滞作用，致使抽水井流场中某处的水位变化不能瞬时传递到实际边界，而在尚未涉及到实际边界之前，该边界不对此前的渗流场变化施加影响。4.1.3 在本模型中的应用分析附录中数据1：抽水过程中主要观测孔水位变换表，对开始抽水后试验井和观测井水位波动差计算，我们将时刻21.17和22.1进行比较得下表：稳定时刻判定时间实验井 观测孔N1 观测孔N2观测孔N34.21.170.14%0.35%0.39%0.22%4.22.10.14%0.22%0.25%0.16%由于21.17时刻观测井n1、n2并未达到稳定，所以选取4.22.1为稳定开始时刻。4.2 稳定阶段地下水降落曲线求解影响辐射井的地下水降落曲线的因素：集水井壁外剩余水头，吸水管外端点的管上水头，距离水井中心处的水头，辐射管长度经验指数，在辐射管中自由出流，补给边界水位稳定的条件下，对n1、n2、n3三个位置的数据进行拟合和插值。表明辐射井的地下水降落曲线在水平辐射管延伸范围内，地下水面呈凹形降落曲线，接近边界处水力坡度下降较大，向集水井方向渐趋平缓，尤其在1/2范围内比较平缓。在辐射管的端点，水力坡度陡峭曲线出现凹凸拐点。在辐射管延伸范围之外，地下水呈上凸形。4.2.1 地下水在水平距离X方向的变化通过查找资料获得地下水在水平距离X方向的变化有如下的经验关系： (1)为表示降落曲线弯曲程度的一个经验数值，也可以利用抽水试验观测资料代入下式求得： （2）式中 和-距离集水井中心和两处的水位高度； -两个观测点之间的水平距离。 在辐射管延伸范围内，对于同一条降落曲线，采用任意两个观测点的数据进行计算所得出的值，应当是相同的。对于同一地区，同样井型结构的辐射井，值应当是接近的。对于黄土地区，值变化范围通常在0.010.03之间。 把数据R1=110，R2=50，带入（2）式解得：=0.01254 将代入（1）式，得到：， 将代入（1）式，得到： （3） 其中 -大口集水井的半径（米）； -井壁处的水位高度（米）； -辐射管的长度（米）；其他符号同前。4.2.2 集水井的水位高度Tp随时间的变化（1）求辐射管的影响半径：假设辐射井的最大降深为： 式中 隔水底板与地面的高度差（米）； 辐射孔（管）与隔水底板的距离（米）。因此，在尚未进行抽水试验时，可用经验公式求出辐射井的影响半径的值： 式中 渗透系数（米/昼夜）。 辐射管的长度（米）。这里必须说明，关于辐射井的影响半径，最好通过在典型地区进行抽水试验加以确定。从非稳定渗流理论来看，在多数情况下影响半径是随抽水时间而变化的。如无相应的补给，它将随着连续抽水时间而变化的。如无相应的补给，它将随着连续抽水时间的延长而不断扩展。因此，要将绝对的影响半径是不科学的，只能根据开采条件选用一个适当的数值。（2）求集水井的水位高度Tp（下面以Z来代替Tp）与时间的关系：0段（辐射管延伸范围内）：辐射井的水位未开始降落时，距离井底的初始水位高和隔水底板与地面的高度差相等，即 （4）水位下降高度 （5）式中 地下水的实际渗透速度； 水位下降所用时间。由达西渗透流速公式得： （6） （7） 查资料得知，当地下水为层流运动时，；当地下水为紊流运动时，；当地下水为混合流运动时，。式中 该黄土含水层的孔隙比（含水层孔隙的体积与固定颗粒体积之比）；地下水的平均渗透速度（米/小时）； 水力坡度，即单位渗径长度上的水头损失（无因次量）。又考虑到 （8）式中 地下水的水头差（米）； 水平辐射管的长度（米）。 水头损失值： （9）式中 计算段管长（米）； 辐射孔（管）的内径（米）； 辐射管中的流速（米/秒）； 重力加速度，其职取9.81米/秒2； 是由于水流与孔（管）壁摩擦而造成的水力阻力系数：式中 流速因数（米0.5/秒）。 在实际计算中可由现成的表格中查取。当=100200毫米时，可取=0.1。 联立式（4）、（5）、（6）、（7）、（8）和（9），可得随时间的变化距离井底的水位高： （10)当地下水为层流运动时，；当地下水为紊流运动时，；当地下水为混合流运动时，。其中： （11)段（辐射管延伸范围外）：根据水井的Dupuit公式，通过黄土含水层任一断面的流量相等，并等于抽水量，所以 （12)式中 指上的任意变量（米）。得： （13)将式（12）分离变量得： 按给出的定解条件取定积分：式中 地下水某时的最低水位（米）； 任意变量的积分下限（米）。积分得：整理，得：又因为；所以4.2.3地下水水位降落曲线与辐射井横剖面上的角度之间的关系：在图a中沿半径为r的曲线抛开的含水层断面图如图b所示 图a 图b简化可得：H=5*h/4；（h可以由=18时模型得出的地下水水位降落曲线得到即 ）其中：h对应的降落曲线相对于辐射管的垂直高度； H与辐射管的水平夹角成22.5的降落曲线与辐射管的垂直高度； 降落曲线与辐射管的水平夹角； d辐射管延伸距离坐标； N辐射管数量。辐射管之间的水位波形近似于正弦分布，随着辐射管延伸距离坐标的增大，其变化波形越来越平缓，我们用平均直线代替其波形变化可以简化计算，从而迅速完成地下水的水位高度与之间的关系。 4.3 非稳定阶段地下水降落曲线求解（泰斯模型）假设条件：潜水含水层特征：均质、同性、等厚、地板水平且无限延伸；渗流特征：符合达西定律和连续方程，轴对称均匀无阻力汇入井中；垂直方向无补给。 求解模型：取微元体：半径r及r+dr,高度为H及H+dH的圆筒体。a潜水含水层的导水系数因为本次研究假设在抽水过程中没有降水入渗补给或蒸发排泄，所以=0.五 辐射井水量计算模型的建立黄土地地区的出水量的求解，可以先计算出一根辐射管的出水量，然后在乘以总辐射管数就可以得到总出水量即为所求。对于单根辐射管出水量的求解，我们通过查找资料获得汇流强度公式，在依据第一问求出的地下水降落曲线模型，就可以获得单根辐射管的出水量。具体步骤如下：对于任意部位,进入水平集水管的单长流量（或汇流强度）用下面的公式计算（见参考文献）： （14）其中：黄土含水层的渗透系数，相应于剖面的局部阻抗系数。由于是随着变化的一个变量，欲求辐射管的流量，需将沿辐射管全程累计起来。比较简单的处理办法是，按照降落曲线的计算公式，采用定积分法，求出沿管全程的平均高度，与相应的水平距，剖面举行宽度局部阻抗系数，代入公式（14），求出（）的平均汇流强度，然后乘以辐射管长度，即得单管流量 （15）沿管全程平均水位高度，根据公式（1），代入上式并积分，得： （16） 相应于高度的水平距离，由公式（1）决定，代入，得到： （17）相应于和的矩形剖面宽度，用下式计算： （18）相应于和的局部阻抗系数，为含有参变量的函数根据参考文献6所做的理论分析，的表达式如下： （19）式中个符号同前。辐射井的出水量等于单管流量与辐射管根数的乘积 （20）六 模型的分析检验当给定某一抽水时刻t和一定角度值时，地下水的水位高度Tx与x的变化关系如下图所示：从图中可以看出，Tx与X的变化关系还是与给定图形的曲线是一致的，可以明确的知道我们对曲线的构建的方向是正确的。首先用公式（1）和（2），计算出沿管全程平均高度，和相应的矩形剖面宽度，然后根据、和的比值，查函数表得出局部阻抗系数，然后计算出辐射井的出水量。这里还用4月19日21时的实测数据进行计算。已知=77.56米，=81.165米，=0.0224，=121.75米，=1.75米，=120米，=8, ,=0.12米，米。将上述数据代入公式（16），得：米，将米及其他数值代入公式（18），得：米各参量的比值分别为：，代入下面公式得：将以上得到的已知变量代入公式（20），在这里由于距离开始抽水的时间不长,而水位较高,考虑到土壤稀松,故取得出辐射井的出水量为：这个时间抽水试验实测到的辐射井出水量为70.67。模拟结果与实际测得的数据比较接近，误差为1.487%。接下来，再对其他时间点的出水量进行模拟，并与实际测量值进行比较：比如4月21日17时，米，米，=0.0224，=121.75米，=1.75米，=120米，=8, ,=0.12米，米。将上述数据代入公式（16），得：米，将米及其他数值代入公式（18），得：米各参量的比值分别为：，代入下面的公式得：将以上得到的已知变量代入公式（20），得出辐射井的出水量为：这个时间抽水试验实测到的辐射井出水量为。模拟结果与实际测得的数据比较接近，误差为。七 模型的优缺点及改进方法优点： （1）根据辐射管尺寸、管的数量分布等因素将模型简化为对一扇形域水量的，大大减少了数据处理的工作量。（2）将公式（9）的函数按参变量，和计算出相应的函数值，列入表1-4中，以供查找使用，方便了计算。（3）按照降落曲线的计算公式，采用定积分法，求出沿管全程的平均高度，进而求出平均汇流强度和流量，避免了由于是随着变化的一个变量，欲求辐射管的流量，需将沿辐射管全程累计起来的计算麻烦。不足之处： （1）简化模型时，忽略了集水井井壁、辐射管端点外侧流进水量，对所测算的总水量造成误差。(2) 理论计算公式结构形式复杂，实际运用不变。(3)本文中的很多数据是在MATLAB中进行，且文中没有给出具体的操作步骤，对于计算知识不熟悉的人，很难运用所得的结论和方法求解问题。5.2、模型改进 类比本问题中的模型建立和数据处理方法，可根据不同地区的特点，探讨该地区辐射井作用下地下水运动的规律，得出计算降落曲线的试验公式和出水量计算公式。八 参考文献【1】 翟兴业，黄土地辐射井出水量计算方法初步探讨【2】 车树成、张荣伟，煤矿地质学，徐州：中国矿业大学出版社，1996年【3】 薛禹群、朱学愚，地下水动力学，地质出版社，1991年【4】 李佩成、赵尔慧、霍崇仁、王禹良编著，地下水利用，水利电力出版社，1984年【5】 陕西省水利科学研究所等编，辐射井，北京水利电力出版社,1975年 八 附表图3 观测孔（井）的位置简易图表1 抽水过程中主要观测孔（井）水位变换表时间（月.日.时）距离井底的水位高（m)流量备注井位水高观测孔N1观测孔N2观测孔N3观测井4观测孔N5m3/时4.4.582.48 82.58 82.80 83.17 84.43 86.21 抽水前4.19.781.34 81.46 81.23 82.24 84.03 86.05 开始抽水4.19.1378.48 79.88 81.21 83.20 83.99 86.03 87.67 第一次降深4.19.1777.90 78.96 80.67 82.02 83.88 86.04 4.19.2177.56 78.43 80.41 81.92 86.06 70.67 4.20.376.77 77.83 80.00 81.76 86.06 64.00 4.20.973.34 77.44 79.14 81.56 83.73 86.06 58.93 4.20.1776.15 78.49 79.57 81.56 83.32 86.06 46.90 4.21.176.09 76.92 79.29 81.46 83.88 86.06 60.18 4.21.976.00 76.85 79.10 81.40 83.89 86.04 59.62 4.21.1776.07 76.91 79.08 81.36 83.94 86.00 52.50 4.22.176.13 76.81 78.97 81.31 83.93 86.00 42.16 4.22.976.15 76.81 78.91 81