方阵的特征值与特征向量.ppt

2009 7 22 4 1 1 第四章矩阵的特征值 第一节矩阵的特征值与特征向量第二节相似矩阵与对角化第三节实对称矩阵的特征值与特征向量 2009 7 22 4 1 2 第一节方阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的性质 2009 7 22 4 1 3 一 特征值与特征向量的概念 定义 成立 1 设A为n阶矩阵 如果存在数 和n维非 零向量x 使Ax x 那么称数 为矩阵A的特征值 而称向量x为 矩阵A属于特征值 的特征向量 2009 7 22 4 1 4 说明 1 特征向量x 0 特征向量是方阵A属于特征值 2 n阶方阵A的特征值是齐次线性方程组 A E x 0有非零解的 值 即满足方程 A E 0 的 值均是矩阵A的特征值 的向量 2009 7 22 4 1 5 的特征方程 是以 为未知数的一元n次方程 称 A E 0为A 记f A E 它是 的n次多项式 称其为方阵 A特征多项式 2009 7 22 4 1 6 4 n阶方阵A aij 的特征值 1 2 n又称矩阵A 的特征根 若 0是特征方程的k重特征根 则称 方阵A的k重特征根 特征值与特征向量的求法 1 求方阵A aij 的特征方程 A E 0的值 1 2 n 2 对于方阵A aij 的特征值 0 求属于该特征值 的特征向量 2009 7 22 4 1 7 例1 解 A的特征多项式 得A的特征值 1 2 2 4 当 1 2时 有 A 2E x 0 即 求A的特征值与特征向量 其中 2009 7 22 4 1 8 解之得 5x1 x2 矩阵A属于 1 2的全部特征向量k1 1 5 T 于是相应的特征向量可取p1 1 5 T 当 2 4时 有 A 4E x 0 即 解之得 x1 x2 矩阵A属于 2 4的全部特征向量k2 1 1 T 于是相应的特征向量可取p2 1 1 T 2009 7 22 4 1 9 例2 解 A的特征多项式 得A的特征值 1 2 2 3 1 当 1 2时 有 A 2E x 0 求A的特征值与特征向量 其中 2009 7 22 4 1 10 解之得 x1 x2 0 x3为任意实数 矩阵A属于 1 2的全部特征向量 于是相应的特征向量可取p1 0 0 1 T k1p1 k1 0 0 1 Tk1 0为任意实数 2009 7 22 4 1 11 解之得 x1 x3 x2 2x3 矩阵A属于 2 3 1的全部特征向量 于是相应的特征向量可取p1 1 2 1 T 当 2 3 1时 有 A E x 0 k2p2 k2 1 2 1 Tk2 0为任意实数 2009 7 22 4 1 12 例3 求A的特征值与特征向量 解 A的特征多项式 得A的特征值 1 1 2 3 2 当 1 1时 有 A E x 0 2009 7 22 4 1 13 解之得 x2 0 x1 x3为任意实数 矩阵A属于 1 1的全部特征向量 于是相应的特征向量可取p1 1 0 1 T k1p1 k1 1 0 1 Tk1 0为任意实数 2009 7 22 4 1 14 解之得 4x1 x2 x3 0 矩阵A属于 2 3 2的全部特征向量 于是相应的特征向量可取p2 0 1 1 T p3 1 0 4 T 当 2 3 2时 有 A 2E x 0 k2p2 k3p3 k2 0 1 1 T k3 1 0 4 T k2k3 0为任意实数 2009 7 22 4 1 15 例4 n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一 个特征值等于0 证明 必要性 若A为奇异矩阵 则 A 0 于是有 0I A 1 n A 0 故0是A的一个特征值 若0是A的一个特征值 其相应的特征向量x 充分性 由定义知Ax 0 x 0 因特征向量x 0 要使齐次线性方程组Ax 0有 非零解 则需要 A 0 即A为奇异 2009 7 22 4 1 16 例5 证明若 是矩阵A的特征值 x是A的属于 证明 再继续施行上述步骤m 2次 就得 的特征向量 则有 1 m是Am的特征值 m是任意常数 故 m是Am的特征值 且x是Am属于 m的特征 向量 2 当 A 0时 则 1是A 1的特征值 2009 7 22 4 1 17 故 1是A 1的特征值 且x是A 1属于 1的特征向量 2 若 A 0时 则A可逆 于是知A的特征值 0 2009 7 22 4 1 18 二 特征值和特征向量的性质 性质1设 0是A的特征值 则k 0是kA的特征值 证明 若 0是A的特征值 则x 0 于是k 0是kA的特征值 2009 7 22 4 1 19 性质2设 0是A的特征值 且 A 0 则 1是A 1的 证明 见例5 特征值 2009 7 22 4 1 20 性质3n阶方阵A与其转置矩阵AT有相同的特征值 证明 故A与AT有相同的特征值 2009 7 22 4 1 21 性质4n阶方阵A aij 如果 1 有一个成立 则A的所 有特征值 k k 1 2 n 的模 k 1 证明 只需证A的任意特征值 的模 1即可 设A的属于 的特征向量为x 于是有 2009 7 22 4 1 22 既有 1 再由 的任意性知 类似证明 2 2009 7 22 4 1 23 性质5设 1 2 m为方阵A的m个特征值 量 如果 1 2 m各不相同 则x1 x2 xm x1 x2 xm分别为方阵A的与之相应的特征向 证明 利用数学归纳法证明 当k 1时 结论显然成立 假设k m 1时 结论成立 那么当k m时 有 线性无关 2009 7 22 4 1 24 用A左乘 1 有 用 m左乘 1 有 3 2 有 因 1 2 m 1各不相同 且x1 x2 xm 1线性 则k1 k2 km 1 0 代入 1 式得km 0 于是x1 x2 xm线性无关 无关 2009 7 22 4 1 25 性质6设n阶方阵A的全部特征值 1 2 n 则有 1 1 2 n a11 a22 ann 证明 略 即A的所有特征值的和等于A的主对角线元素之和 2 1 2 n A A的所有特征值的积等于A的行列式值 2009 7 22 4 1 26 例6 2 2 求x值和A的另一特征值 解 利用上述性质6 知 而 A x 2 于是解得 3 3 x 4 已知A有特征值 1 1 1 2 3 1 x 1 1 2 3 A 2009 7 22 4 1 27 注意 1 属于不同特征值的特征