2018-2019学年高中数学_第二章 基本初等函数（ⅰ）2.1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数的图象及性质课件 新人教a版必修1

2 1 2指数函数及其性质第一课时指数函数的图象及性质 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 想一想1 导入二中两个对应能构成函数吗 能 想一想2 这两个函数有什么特点 底数是常数 指数是自变量 知识探究 1 指数函数的定义函数叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是R 探究1 指数函数的解析式有何特征 答案 指数函数的解析式具有以下特征 1 底数a 0 且为不等于1的常数 也不含有自变量x 2 指数位置是自变量x 且x的系数是1 3 ax的系数是1 y ax a 0 且a 1 2 指数函数的图象和性质 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 0 1 探究2 指数函数图象不可能出现在第几象限 答案 指数函数图象只出现在第一 二象限 不可能出现在第三 四象限 拓展延伸 1 指数函数y ax a 0 a 1 的图象变换函数的图象是直观表示函数的一种方法 函数的很多性质都可以从图象上一览无余 数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想 指数函数的图象通过平移 翻转等变换可得出一般函数的图象 利用函数的图象 能较简捷地解答一些与函数性质有关的问题 2 对称规律函数y ax的图象与y a x的图象关于y轴对称 函数y ax的图象与y ax的图象关于x轴对称 函数y ax的图象与y a x的图象关于坐标原点对称 2 与指数函数有关的复合函数与指数函数有关的复合函数主要包括形如y af x 和y f ax 的函数 1 与指数函数有关的复合函数的定义域 值域的求法 函数y af x 的定义域与f x 的定义域相同 求函数y af x 的值域 需先确定f x 的值域 再根据指数函数y ax的单调性确定函数y af x 的值域 求函数y f ax 的定义域 需先确定y f u 的定义域 即u的取值范围 亦即u ax的值域 由此构造关于x的不等式 组 确定x的取值范围 得y f ax 的定义域 求函数y f ax 的值域 需先利用函数u ax的单调性确定其值域 即u的取值范围 再确定函数y f u 的值域 即为y f ax 的值域 2 与指数函数有关的复合函数的单调性 形如y af x 的函数的单调性的判断方法 当a 1时 函数u f x 的单调增 减 区间即为函数y af x 的单调增 减 区间 当0 a 1时 函数u f x 的单调减 增 区间即为函数y af x 的单调增 减 区间 形如y f ax 的函数的单调性的判断方法 通过内层函数u ax的取值范围确定外层函数y f u 的定义域 在此定义域内讨论外层函数的单调区间 再根据复合函数 同增异减 的法则确定复合函数的单调区间 自我检测 B B 1 概念 下列以x为自变量的函数中 是指数函数的是 A y 5 x B y ex e 2 71828 C y 5x D y x 2 B 3 单调性 指数函数f x ax a 0且a 1 在R上是增函数 则a的取值范围是 A a 1 B a 2 C 0 a 1 D 1 a 2 A 答案 0 答案 2 3 6 定点 函数y 2 ax 2 a 0且a 1 的图象恒过定点 它的坐标为 题型一 指数函数的概念 课堂探究 素养提升 解析 为指数函数 中底数 80且a 1时 才是指数函数 中3x前的系数是2 而不是1 所以不是指数函数 故选A 判断一个函数为指数函数只需判定解析式符合y ax a 0且a 1 结构前系数为1 指数为自变量x 方法技巧 解 只有 4 6 是指数函数 因它们满足指数函数的定义 1 中解析式可变形为y 2x 22 4 2x 不满足指数函数的形式 2 中底数为负 所以不是 3 中解析式中多一负号 所以不是 5 中指数为常数 所以不是 6 中令b a 1 则y bx b 0且b 1 所以是 即时训练1 1 在下列的关系式中 哪些不是指数函数 为什么 1 y 2x 2 2 y 2 x 3 y 2x 4 y x 5 y x2 6 y a 1 x a 1 且a 2 解 不是指数函数 因为自变量不在指数的位置上 不是指数函数 中底数 4 0 故不是指数函数 中指数不是自变量x 中底数x不是常数 故指数函数有 题型二 指数函数的图象特征 解析 法一由于在第一象限内 指数函数符合底数越大 图象越高的规律且 为减函数 为增函数 所以b a 1 d c 故选B 法二作直线x 1 与四个图象分别交于A B C D四点 则A 1 a B 1 b C 1 c D 1 d 由图可知b a 1 d c 故选B 例2 如图是指数函数 y ax y bx y cx y dx的图象 则a b c d与1的大小关系是 A a b 1 c d B b a 1 d c C 1 a b c d D a b 1 d c 方法技巧由指数函数图象特征判断指数函数底数大小的方法 1 由第一象限内 底大图高 的规律判断 2 取特殊值x 1得函数值的大小即底数大小进行判断 解析 1 当a 0且a 1时 总有f 2 a2 2 3 a0 3 1 3 2 所以函数f x ax 2 3必过定点 2 2 2 当x 0时 f x ax 由于a 1 函数是增函数 当x 0时 f x ax 与f x ax x 0 关于x轴对称 只有 符合 答案 1 2 2 2 即时训练2 1 1 当a 0且a 1时 函数f x ax 2 3必过定点 题型三 与指数函数有关的定义域 值域问题 3 y 4x 4 2x 1 规范解答 3 函数的定义域为R 9分记t 2x 0 则y t2 4t 1 t 2 2 3 故当t 2 即2x 2 解得x 1时 y取得最小值 3 11分所以函数的值域为 3 12分 方法技巧函数y af x 的定义域与值域的求法 1 形如y af x 的函数的定义域就是f x 的定义域 2 形如y af x 的值域 应先求出f x 的值域 再由函数的单调性求出af x 的值域 若a的取值范围不确定 则需对a进行分类讨论 3 形如y f ax 的值域 要先求出u ax的值域 再结合y f u 确定出y f ax 的值域 即时训练3 1 若函数f x ax 1 a 0 a 1 的定义域和值域都是 0 2 求实数a的值 解析 函数f x ax a 0且a 1 在 0 2 内的值域是 1 a2 由于指数函数是单调函数 则有a 1