2018-2019学年八年级数学下册_第一部分 基础知识篇 第15课 图形与证明例题课件 （新版）浙教版

重点中学与你有约 例1 如图 已知D是AC上一点 AB DA DE AB B DAE 求证 BC AE 解题技巧 DE AB CAB ADE BC AE 在 ABC和 DAE中 举一反三 思路分析 由垂直的性质就可以得出 B EAD 再根据AAS就可以得出 ABC EAD 就可以得出AB AE 如图 在 ABC中 ACB 90 D是AC上的一点 且AD BC DE AC于D EAB 90 求证 AB AE 失误防范 全等三角形的判定 SSS 边边边 三边对应相等的三角形是全等三角形 SAS 边角边 两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形 ASA 角边角 两角及其夹边对应相等的三角形全等 AAS 角角边 两角及其一角的对边对应相等的三角形全等 HL定理 斜边 直角边 在一对直角三角形中 斜边及另一条直角边相等 例2 如图 在 ABC和 ADE中 BAC DAE 90 点B C E在同一直线上 AC AB AD AE 且AE与BD交于点F 你能判断出CE与BD的关系吗 请说明理由 重点中学与你有约 解题技巧 BD CE BD CE 理由是 DAE BAC 90 CAE BAD ACE ABD SAS CE BD ACE ABD 在 ACE和 ABD中 在Rt ABC中 ABC ACE 90 ABD ABC 90 即 CBD 90 BD CE 举一反三 思路分析 1 求出 BAD CAE 根据SAS推出 ABD ACE 根据全等三角形的性质推出即可 2 根据全等三角形的性质得出 BDA E 根据 E ADE 90 求出 BDA ADE 90 即可 如图 在 ABC和 ADE中 BAC DAE 90 AB AC AD AE 点C D E在同一直线上 连结BD 1 求证 BD EC 2 BD与CE有何位置关系 请证你的猜想 失误防范 全等三角形的性质 1 全等三角形的对应角相等 2 全等三角形的对应边相等 3 能够完全重合的顶点叫对应顶点 4 全等三角形的对应边上的高对应相等 5 全等三角形的对应角的角平分线相等 6 全等三角形的对应边上的中线相等 7 全等三角形面积和周长相等 8 全等三角形的对应角的三角函数值相等 例3 如图 在 ABC中 BAC 108 AB AC BD平分 BAC 交AC于D 求证 BC CD AB 重点中学与你有约 解题技巧 法1 截长法 在BC上取点E使BE BA 连接DE 如图1 BD平分 ABC ABD EBD 在 ABD和 EBD中 AB EB ABD EBD BD BD ABD EBD SAS BAC BED 108 AD DE DEC 72 AB AC C ABC 36 CDE 72 CDE CED 72 CD CE 则BC BE EC AB CD 解题技巧 法2 补短法 延长BA至E 使BE BC 连接DE 如图2 BD平分 ABC EBD CBD 在 EBD和 CBD中 EB CB EBD CBD BD BD EBD CBD SAS DE DC E C 36 EAD 72 EDA EAD 72 EA ED CD DE AE 则BC BE AB AE AB CD 举一反三 思路分析 延长AD EF交于点G DE BD 再根据 BDA EDG BD ED 证出 ABD GED 得出AB GE 又因为 BAD DAC 所以 FGD DAC AF GF 即可证出AF EF AB 在 ABC中 已知AB AC AD平分 BAC交BC于点D 点E在DC的延长线上 且DE BD 过E作EF AB交AC的延长线于F 求证 AF EF AB 失误防范 截长补短法 截长补短法 是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法 也是把几何题化难为易的一种思想 截长 1 过某一点作长边的垂线2 在长边上截取一条与某一短边相同的线段 再证剩下的线段与另一短边相等 补短 1 延长短边2 通过旋转等方式使两短边拼合到一起 例4 已知 点C是线段AB上除点A B 外的任意一点 分别以AC BC为边在线段AB的同旁作等边 ACD和等边 BCE 连接AE交DC于M 连接BD交CE于N 连接MN 1 求证 AE BD 2 求证 MN AB 重点中学与你有约 解题技巧 1 ACD和 BCE是等边三角形 AC DC CE CB DCA 60 ECB 60 DCA ECB 60 DCA DCE ECB DCE ACE DCB 在 ACE与 DCB中 AC DC ACE DCB CE CB ACE DCB AE BD 2 由 1 得 ACE DCB 而A C B三点共线 DCN 60 在 ACM与 DCN中 CAM NDC AC DC ACM DCN ACM DCN MC NC MCN 60 MCN为等边三角形 NMC MCA 60 MN AB 举一反三 在 ABC中 AD是 ABC的角平分线 1 如图1 过C作CE AD交BA延长线于点E 若F为CE的中点 连接AF 求证 AF AD 2 如图2 M为BC的中点 过M作MN AD交AC于点N 若AB 4 AC 7 求NC的长 举一反三 思路分析 1 推出 3 E 推出AC AE 根据等腰三角形性质得出AF CE 根据平行线性质推出即可 2 延长BA与MN延长线于点E 过B作BF AC交NM延长线于点F 求出BF CN AE AN BE BF 设CN x 则BF x AE AN AC CN 7 x BE AB AE 4 7 x 得出方程4 7 x x 求出即可 答案 1 证明 AD为 ABC的角平分线 1 2 CE AD 1 E 2 3 E 3 AC AE F为EC的中点 AF EC AD EC AFE FAD 90 AF AD 2 解 延长BA与MN延长线于点E 过B作BF AC交NM延长线于点F 3 C F 4 M为BC的中点 BM CM 在 BFM和 CNM中 3 C F 4 BM CM BFM CNM BF CN MN AD 1 E 2 4 5 E 5 F AE AN BE BF 设CN x 则BF x AE AN AC CN 7 x BE AB AE 4 7 x 4 7 x x 解得x 5 5 CN 5 5 失误防范 中考题中与三角形有关的综合题 类型一 构造法添加辅助线当题目中的结论在现有图形中难以解决时 我们自然会考虑添加辅助线 而构造全等三角形来转化线段或角是我们常用的方法之一 类型二 在变化的图中探究同一类问题这类问题往往是方法的延续 而第一问是很容易入手的 因此对比第一问 利用第一问的方法就可以解决后面的问题 例5 已知 点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点 不与A B重合 分别过点A B向直线CP作垂线 垂足分别为E F Q为斜边AB的中点 1 如图1 当点P与点Q重合时 AE与BF的位置关系是 QE与QF的数量关系是 2 如图2 当点P在线段AB上不与点Q重合时 试判断QE与QF的数量关系 并给予证明 3 如图3 当点P在线段BA 或AB 的延长线上时 此时 2 的结论是否成立 请画出图形并给予证明 重点中学与你有约 解题技巧 1 AE BF QE QF 2 QE QF 证明 延长FQ交AE于点D 如图 AE CP BF CP AE BF 1 2 Q为斜边AB的中点 AQ BQ 3 4 AQD BQF QD QF AE CP QE为Rt DEF斜边FD上的中线 QE FD QF 3 2 中结论仍然成立 理由 如图 延长EQ FB交于点D AE BF 1 D 2 3 AQ BQ AQE BQD QE QD BF CP FQ为Rt DEF斜边DE上的中线 QF ED QE 举一反三 已知 点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点 点P不与点A C重合 分别过点A C向直线BP作垂线 垂足分别为E F 点O为AC的中点 1 当点P与点O重合时如图1 求证 OE OF 2 直线BP绕点B逆时针方向旋转 当点P在对角线AC上时 且 OFE 30 时 如图2 猜想线段CF AE OE之间有怎样的数量关系 并给予证明 3 当点P在对角线CA的延长线上时 且 OFE 30 时 如图3 猜想线段CF AE OE之间有怎样的数量关系 直接写出结论即可 举一反三 思路分析 1 由 AOE COF即可得出结论 2 图2中的结论为 CF OE AE 延长EO交CF于点G 只要证明 EOA GOC OFG是等边三角形 即可解决问题 3 图3中的结论为 CF OE AE 延长EO交FC的延长线于点G 证明方法类似 答案 1 AE PB CF BP AEO CFO 90 又 AOE COF AO OC AOE COF OE OF 2 图2中的结论为 CF OE AE 证明如下 延长EO交CF于点G AE BP CF BP AE CF EAO GCO 又AO OC AEO COG EOA GOC EO GO AE CG 在Rt EFG中 EO OG OE OF GO OFE 30 OFG 90 30 60 OFG是等边三角形 OF GF OE OF OE FG CF FG CG CF OE AE 举一反三 3 图3中的结论为 CF OE AE 证明如下 延长EO交FC的延长线于点G AE BP CF BP AE CF AEO G 又 AOE GOC AO OC AOE COG OE OG AE CG 在Rt EFG中 OE OG OE OF OG OFE 30 OFG 90 30 60 OFG是等边三角形 OF FG OE OF OE FG CF FG CG CF OE AE 失误防范 1 涉及中点常用到的定理 三角形中位线定理 中位线判定定理 直角三角形斜边中线定理 斜边中线判定 等腰三角形底边的中线三线合一 底边的中线 顶角的角平分线 底边的高重合 2 几何图形综合题 经常会涉及到全等三角形的判定和性质 等边三角形的判定和性质等知识 解题的关键是学会添加常用辅助线 构造全等三角形解决问题 属于中考常考题型 例6 如图 已知四边形ABCD中 ADC 60 ABC 30 AD CD 求证 BD2 AB2 BC2 重点中学与你有约 解题技巧 如图 将 ADB以D为旋转中心 顺时针旋转60 使A与C点重合 B与E点重合 连接BE ABD CED A ECD AB CE DB DE 又 ADC 60 BDE 60 DBE为等边三角形 DB BE 又 ECB 360 BCD DCE 360 BCD A 360 360 ADC ABC 60 30 90 ECB为直角三角形 EC2 BC2 BE2 BD2 AB2 BC2 6 如图 已知四边形ABCD中 ADC 60 ABC 30 AD CD 求证 BD2 AB2 BC2 举一反三 如图 在四边形ABCD中 ABC 30 ADC 60 AD DC 若AB 5 BC 6 求BD的长 提示 把 DCB绕点C顺时针旋转60 到ACB 连BB 思路分析 把 DCB绕点C顺时针旋转60 到ACB 连BB 由 DCB ACB 推出BD AB 再证明 ABB 是直角三角形 利用勾股定理求出AB 即可解决问题 答案 把 DCB绕点C顺时针旋转60 到ACB 连BB AD CD ADC 60 ADC是等边三角形 DC AC ACD 60 ACD BCB 60 DCB ACB DCB ACB BD AB BC CB BCB 60 BCB 是等边三角形 CBB 60 ABC 30 ABB ABC CBB 90 BD AB 失误防范 1 用旋转法作辅助线证明平面几何题 旋转法就是在图形具有等邻边特征时 可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点 旋转另一位置的引辅助线的方法 1 旋转方法主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来 从而为证题创造必要的条件 2 旋转时要注意旋转中心 旋转方向 旋转角度的大小 三要素 中心 方向 大小 3 旋转方法常用于竺腰三角形 等边三角形及正方形等图形中 2 旋转的性质 旋转前后两图形全等 即对应角相等 对应线段相等 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 例7 如图 在 ABC中 C 90 点M在BC上 且BM AC N在AC上 且AN MC AM与BN相交于P 求证 BPM 45 重点中学与你有约 解题技巧 如图 过M作ME AN 使ME AN 连NE BE 则四边形AMEN为平行四边形 NE AM ME BC 1 2 ME AN CM EMB MCA 90 BM AC BEM AMC 得BE AM NE 3 4 1 3 90 2 4 90 即 BEN 90 而BE NE BEN为等腰直角三角形 BNE 45 AM NE BPM BNE 45 7 如图 在 ABC中 C 90 点M在BC上 且BM AC N在AC上 且AN MC AM与BN相交于P 求证 BPM 45 举一反三 如图所示 已知 ABC中 A 90 D是AC上一点 DE BC 垂足为E 点M N分别在BA BC上 且BM BN DM DN 求证 DA DE 思路分析 连接BD 先证明 BDM BDN得 DBM DBN 根据角平分线性质定理即可证明 答案 连接BD BM BN BD BD DM DN BDM BDN DBM DBN A 90 DA BA DE BC DA DE 失误防范 1 平移的基本性质 平移不改变图形的形状和大小 经过平移 对应点所连的线段平行且相等 对应线段平行且相等 对应角相等 2 基本图形的辅助线的画法 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的 当问题的条件不够时 添加辅助线构成新图形 形成新关系 使分