高考数学专题复习讲练测——专题九 应考指南 4 怎样答高考开放性和情景性问题.doc

4怎样答高考开放性和情景性问题一、内容概要数学问题由条件、结论、解题依据、解题方法等要素构成.条件的不完备、结论的不惟一、解题方法的多样性是数学开放题的基本特征所谓情景性问题，就是通过数学内部各分支的知识和方法的相互渗透、自然嫁接、合理重组等手段产生的具有一定数学背景的新颖问题，或通过一般性语言来描述的具有实际背景的问题.由于这两种题型的解题套路较少，对数学思维方法及发现问题和分析问题的能力要求较高，因此，高考中常用这种问题来考查学生的数学素质和思维能力.就开放性问题而言，高考中出现的大都可归属于探索性问题，可粗略地分为三种类型：（1）条件开放型这类问题的外在形式是针对一个结论，条件未知或不全，或条件有误需纠错，解决的基本策略是执果索因，寻找结论成立的充分条件判断条件有误时，常举例加以说明（2）结论开放型这类问题的基本特征是有条件无结论或结论正确与否常需进一步证明确定.解决这类问题的一般方法是研究特例，观察、归纳、猜想，然后加以论证对存在判断型，常以题设和假设存在为出发点进行推理，若推出矛盾，则否定存在；如不出现矛盾，则肯定存在对于结论开放型问题常常要对不同的情形加以分类讨论（3）方法探究型这里指的是需用非常规的解题方法或被指定要用两种以上的方法解决同一个问题，难度较高的构造法即属此例在探究方法的过程中，常常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，运用类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新的成分较高二、基本方法讲解例1若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，求该四面体的体积.（只需写出一个可能的值）讲解：根据三角形两边之和大于第三边这一要求，可构造出如图9-26的四面体，其体积为（6）. 图9-26说明：这是一个题设和结论都不确定的开放题如何构造图形，关键是根据三角形知识确定每个面上的三条棱排除1，1，2可得1，1，1，1，2，2，2，2，2，然后由这三类面（三角形）在空间构成满足条件的一个四面体若本题要求写出所有可能的值（提高开放度），则应考虑面ABC的三条棱分别取上述三种情形，并对其一一讨论，最后可得（6），（12），（12）这三个结果例2若数列满足（1）1（1）（1），6,则能否作为某个等差数列的前项的和?若能，请求出这个等差数列，若不能，说明理由讲解：由（1）1（1）（1）易得1，35，47，（21）由数学归纳法不难证得猜想是正确的（21）（）设数列的前项和为，则1（21）（1）2（1）143（2）43，对1也成立，显然为等差数列可作为某个等差数列的前项的和，这个等差数列的通项是43说明：此题的原型为：已知（1）1（1）（1），求、，并猜想，进而证明猜想的正确性这样的提法太陈旧，解法不具有思考性，现变化为本题后，其解法就具有一定的隐蔽性、开放性和综合性在分析时，应抓住一阶递推关系这个重要条件，不难找出从具体到一般的探求及猜想的基本思路此题还可以从等差数列的前项和的充要条件着手，设（其中、为待定常数），代入已知等式，得（1）（1）（1）（1）（）令1，得10，又426，由得2，1，并代回原等式，易知恒成立2以下过程略例3在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形.问底面的边BC上是否存在点E，（1）使90；（2）使为锐角证明你的结论图9-27讲解：（1）当AB（12）时，边BC上存在点E使90；当（12）时，点E不存在，证明如下.以AD为直径作圆O，当（12）时，与BC有公共点，设为E，连AE，则90，即底面ABCD，是PE在底面ABCD内的射影，即90当（12）时，与BC无公共点，对BC边上任一点E，90若，则必有DE，即90BC边上不存在使90的点（2）边B上总存在点E，使为锐角，B点即是其中一个点证明如下.连结BD，作，垂足为F，连PFPA底面ABCD，又是，点在边BD上，是锐角说明：（1）假设边BC上存在点E，使90，即有90，由此获得（1）的结论“假设存在”使分析有了“由头”，并不一定写在解答中（2）“举例证明”也是一种方法这一小题的进一步结论是：当（12）时，设以AD为直径的圆交BC于M、N两点（排列顺序是B、M、N、C），则线段BM、NC上除点M、N外的任一点E，都使为锐角；当（12）时，边BC上除BC的中点外的点E都使为锐角；当（12）时，边BC上的任一点E使为锐角例4设双曲线（）（）1的左准线为直线，左、右焦点分别为、试问：该双曲线左支上是否存在点P，使是P点到的距离与的等比中项?讲解：假设存在P点使首先考虑、三个量与双曲线的基本量、之间的关系：设双曲线的离心率为（），由,得.由2,得2由,得（2）,即2P点存在的充要条件是什么，必须从图形上考虑d不小于双曲线的左顶点到左准线l的距离，即（）由2，得2（）（）.将（）代入，得210又1，11这一条件等价于0，即当0时，双曲线左支上使的点P存在，当时不存在说明：本题可称为讨论型开放性命题，结论依赖于题中参数间的关系，解题结果必须按参数的不同情形给出结论（）是本题的关键，是数形结合进行思维的结果联想定义，抓住基本量进行分析，反映了解决解析几何问题的一般思路例5某县位于沙漠地带，经过人与自然的长期斗争，到2000年底全县面积的绿化率已达40%，从2001年开始，每年将出现这样的局面：即原有沙漠面积的20%将被绿化.与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的5%被沙化问经过若干年后能否使全县面积的80%被绿化?（注：全县面积=绿化面积+沙漠面积）讲解：设全县面积为p，2000年底的绿化面积为a，经过n年后绿化面积为an+1，则a=04p,an+1=a+（p-a）20%-a5%=（34）a+（15）p，an+1-（45）p=（34）（a-（45）p）.a-（45）p是以a-（45）p为首项，（34）为公比的等比数列 a-（45）p=-（25）p（34）n-1. a=（45）p-（25）p（34）n-1.对任意的nN，都有a（45）p即无论经过多少年，都不可能使全县面积的80%被绿化说明：这是一道用一般性语言描述的有现实意义的情景问题，其问法也颇具开放性其解法的关键是将题中的数量关系用数学式子体现出来在这里就是用a、an+1表示前后两年的绿化面积，从而将实际问题转化为递推数列问题三、专题训练1已知，（）（为虚数单位），则不同的x的值共有（）1个2个3个4个2已知平面平面，直线，则平面内（）一定存在与a平行的直线一定存在与a垂直的直线一定不存在与a平行的直线一定不存在与a垂直的直线3如图9-28，AB是过抛物线焦点F的动弦，P是AB的中点，A、B、P在准线l上的射影分别是M、N、Q.则以下四个结论：FMFN； AQBQ；FQAB；AQFM，其中正确的有（）图9-28A1个B2个C3个D4个4设a是首项为1的正项数列，且（n+1）an+1-nan+an+1an=0（n=1,2,3,），则它的通项为_5设函数f（x）=-ax（a0），求a的取值范围，使函数f（x）在0，）上是增函数6已知（）（0，1）若2，（），（），（），24（）成等差数列：（1）求m（1）；（2）令（），求的取值范围，使为单调递增数列7设矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D都不在平面内，且在内的射影依次是、，试确定四边形也是矩形的一个充分必要条件8已知等差数列的第2项为8，前10项之和为185，从中依次取出第2项、第4项、第8项、第2项、，按照原来的先后顺序排成一个数列（1）求的前项之和；（2）设（9），试比较与的大小9某自来水厂要制作容积为500的无盖长方体水箱，